概率论课后习题答案1～7章

习题 一

1．?略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：? （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；? （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生；? （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；? （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.? 【解】（1） A

BC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪

AB

C∪ABC=ABC

(5)

ABC=A?B?C (6) ABC (7)

ABC∪ABC∪AB

C∪

ABC∪ABC∪ABC∪

ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB

C∪ABC∪ABC∪ABC

3.?略.见教材习题参考答案?

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（

AB）.?

【解】 P（

AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？?

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）

=P（BC）=0，?P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.?

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=14+14+13?1312=4

7.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，

2张梅花的概率是多少？

【解】 p=

C53321313C13C13C13/C52

8.?对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；

（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A11）=

75=（

17）5 （亦可用独立性求解，下同）

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

（A65P62）=

575=(

7)

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

17)5

9.?略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

（1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的；?

（3） n件是有放回逐件取出的.? 【解】（1） P（A）=

Cmn?mnMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为

Cmn种.对于固定

的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有

PmM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为

Pn?mN?M种，故

P（A）=

CmPmn?mnMPN?MPn

N由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

nP（A）=

Cm?mMCN?MCn

N可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取

法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为

Cmn种，

对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

1

P(A)?CM(N?M)mnmn?m/Nn

212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C10.7?(0.3)C0.6?(0.4)?333i?0此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为

MN，则取得m件正品的概率为

mP(A)?Cm?M??M?n?mn??N????1?N??

11.?略.见教材习题参考答案.

12.? 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.

每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

P(A)?C13310C3/C50?11960

13.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从

中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

AC21P(4C318P(AC3442)?C3?,3)?735C3?

735故

P(A222?A3)?P(A2)?P(A3)?35 14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取

一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1)

P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94

(3)

P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1）

p2113151?C5(2)2(2)2?32 (2)

C1(1)(131p42?22)45/32?25

16.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3

次，求二人进球数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

2

22C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

=0.32076

17．?从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【

解

】

p?1?C41C1115C22C2C213C4?

102118.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1）

p(BA)?P(AB)P(A)?0.10.5?0.2

（

2

）

p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

19.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的

概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)?P(AB)6/86P(A)?7/8?7

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?67 20.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为

色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?0.5?0.050.5?0.05?0.5?0.0025?2021

21.?两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时

以上”等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示.

P?3021602?4

22.?从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.

【解】 设两数为x,y，则0

65. 144 p1?1?2551?1725?0.68

(2) xy=<14.

p??11

???y???1?12?11dx?1dln2

44x?4223.?设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）

【

解

】

P(BA?B)?P(AB)P(A)?P(AB)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?0.7?0.50.7?0.6?0.5?14

24.?在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任

3

意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取

出的3球均为新球} 由全概率公式，有

?2/3?0.98?0.99492

2/3?0.98?1/3?0.01为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能

27.?在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球

P(B)??P(BAi)P(Ai)

i?03的颜色只有黑、白两种）?

【解】设Ai={箱中原有i个白球（}i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=

又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知

2321P(BA1)P(A1)C3C3C1C8C9C6C3C3C3P(A1B)699C6796?3?3?3?3?3?3?P? (AB)??3132C15C15C15C15C15C15C15C15P(B)1,i=0,1,2.3

?0.089

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，

不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则

A={被调查学生是不努力学

习的}.由题意知P（A）=0.8，P（

A）=0.2，又设B={被调查学生考

试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式

知 （

1

）

P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?0.2?0.10.8?0.9?0.2?0.1?137?0.02702

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)

P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?0.8?0.140.8?0.1?0.2?0.9?13?0.3077 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B

的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3?13

28.?某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认

为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?0.96?0.980.96?0.98?0.04?0.05?0.998

29.?某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}

则由贝叶斯公式得

P(A|D)?P(AD)P(A)P(D|A)P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)

?0.2?0.050.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3?0.057

30.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品

率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(?4i?1Ai)?1?P(A1A2A3A4)

4

?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124

31.?设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使

至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)n?0.9

即为

(0.8)n?0.1

故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

32.?证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

【证】

P(A|B)?P(A|B即)P(AB)P(B)?P(AB)P(B) 亦即

P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

因此 P(AB)?P(A)P(B)

故A与B相互独立.

33.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

115，3，14，

求将此密码破译出的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

P(?3i?1Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

?1?4235?3?4?0.6

34.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是

0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

3P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?0=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×

0.7

=0.458

35.?已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它

给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

p?3【解】（1）Ck1?10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

k?010(2)

pk2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

k?436.?一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求

下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1）

P(A)?C2946106，也可由6重贝努里模型：

P(A)?C212946(10)(10)

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

P(B)?P610106

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有

C110种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有

C26种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有

C1319C4C8种可能结果；

②4人同时离开，有C19种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P49种可能结果，故

P(C)?C1213114610C6(C9C4C8?C9?P9)/10

（4） D=B.故

6P(D)?1?P(B)?1?P10106

37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.

5

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