2011-2014年全国高中数学联赛一试和加试试题及参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．

1．设集合A?{a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B?{?1,3,5,8}，则集合A? ．

2．函数f(x)?x2?1x?1的值域为 ．

3．设a,b为正实数，??22，(a?b)2?4(ab)3，则logab? ．

1a1b

1

4．如果cos5??sin5??7(sin3??cos3?)，??[0,2?)，那么?的取值范围是 ．

5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）

6．在四面体ABCD中，已知?ADB??BDC??CDA?60?，AD?BD?3，则四面体ABCDCD?2，的外接球的半径为 ．

2

7．直线x?2y?1?0与抛物线y2?4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点，?ACB?90?，则点C的坐标为 ．

38．已知an?Cn200??6?200?n?1??????(n?1,2,?,95)，则数列{an}中整数项的个数为 ． ?2?n

3

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

b?1x?1)|，实数a,b(a?b)满足f(a)?f(?9．（本小题满分16分）设函数f(x)?|lg()，

b?2f(10a?6b?21)?4lg2，求a,b的值．

10．（本小题满分20分）已知数列{an}满足：a1?2t?3(t?R且t??1)，

an?1?(2tn?1?3)an?2(t?1)tn?1an?2t?1n(n?N*)．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）若t?0，试比较an?1与an的大小．

4

1x2y211．（本小题满分20分）作斜率为的直线l与椭圆C：??13364y P O A x B 交于A,B两点（如图所示），且P(32,2)在直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若?APB?60?，求△PAB的面积．

5

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