定理1.6.3 设R是从集合X到集合Y的一个关系，则对于集合X的任何一个非空子集族
，有
证明（略）（这个定理对关系成立，当然对映射更成立．注意这两个公式，一个是等式，一个是包含于关系．）
定理1.6.4 设X和Y是两个集合，f：X→Y．则对于集合Y的任何一个非空子集族
，有
简言之，集族的原象保持集族的并 与交运算． 证明（略） 作业：
熟练记忆这3个定理！
§1.7 可数集，不可数集，基数
定义1.7.1 设X是一个集合．如果X是空集或者存在正整数n∈N使得集合X和集合{1，2，?，n}之间有一个一一映射，则称集合X是一个有限集，不是有限集的集合称为无限集；如果存在一个从集合X到正整数集
的单射，则称集合X是一个可数集，不是可数集的集合
称为不可数集．(注意:无限集可能是可数集,也可能是不可数集)
21
显然，凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限集．例如，正整数集
本身便是一个可数集，但它不是有限集．
定理1.7.1 任何可数集的任何一个子集都是一个可数集． 定理1.7.2 设X和Y是两个集合，f:X→Y是一个映射．如果X是可数集，则f（X）也是一个可数集．
定理1.7.3 集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集集合X的一个满射．
定理1.7.4 如果集合X和集合Y都是可数集，则笛卡儿积X×Y也是一个可数集．特别，集合 定理1.7.5 设对于每一个γ∈Γ,
×
是一个可数集．
到
是一个集族．如果指标集Γ是可数集并且也是可数集，则并集
是可数集．
定理1.7.8 实数集合R是不可数集． 作业:
以上这些定理均要熟练记忆,证明过程不要求记.
§1.8 选择公理(略)
本章总结：
本章是点集拓扑学的预备知识，点集拓扑学需要对集合进行各种运算，因此就必须熟记本章的各种有关集合的运算公式：
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（1）若干个集合的并、交、差运算：定义1.2.1与定理 1.2.1，定义1.6.1与定理1.6.2
（2）若牵涉到两个空间之间集合的关系，则就要用到：定义 1.5.2，定理1.5.2，定理1.6.4与定理1.6.3(此定理中的关系R当然适用于映射f)，及课本P23习题1.2.
另：本章中有关等价类的概念及乘积空间，乘积空间到分空间的投射等概念也要深刻地理解好．
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