雷达机动目标跟踪技术研究(2)

雷达机动目标跟踪技术研究

2 系统模型

雷达目标跟踪的基础是估计理论，它要求建立系统模型来描述目标动态特性和雷达量测过程。状态变量法是描述系统模型的一种很有价值的方法，其所定义的状态变量应是能够全面反映系统动态特性的一组维数最少的变量[9]，该方法把某一时刻的状态变量表示为前一时刻的状态变量表示为前一时刻状态变量的函数，系统的输入输出关系是用状态转移模型和输出观测模型在时域内加以描述的。状态反映了系统的“内部条件”，输入可以由确定的时间函数和代表不可预测的变量或噪声的随机过程组成的状态方程来描述，输出是状态向量的函数，通常受到随机观测误差的扰动，可由量测方程描述。状态方程和量测方程之间的关系如图2.1所示。

初始条件观测误差扰动输入随机输入动态系统数学模型系统状态X?k?雷达测量数学模型观测值状态估计器 图2.1 滤波问题的图解说明

2.1 状态方程

状态方程是目标运动规律的假设，例如假设目标在平面内做匀速直线运动，则离散时间系统下tk时刻的状态?xk,yk?可表示为

xk?x0?vxtk?x0?vxkT (2.1) yk?y0?vytk?y0?vykT (2.2)

式中，?x0,y0?为初始时刻目标的位置，vx和vy分别为目标在x轴和y轴的速度，T为采样

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间隔。

式（2.1）和式（2.2）用递推形式可表示为

?k T xk?1?xk?vxT?x （2.3） k?x?kT （2.4） yk?1?yk?vyT?yk?y

目标状态方程用矩阵形式可表示为

X?k?1??F kX???? k （2.5）

式中，状态向量X?k?和系统状态转移矩阵F?k?分别为

X?k???xk?kxyk?k?? （2.6）y

?1?0F?k????0??0T10000100?0?? (2.7) T??1?若假设目标在平面内做匀加速直线运动，则目标的状态(xk，yk)用递推形式可表示为

1?kT???aT)T?xk?xxkT2/2 （2.8）

21?kT???ykT2/2 （2.9） yk?1?yk?(vyk?aT)T?yk?y

2 xk?1?xk?(vxk?目标状态方程用矩阵形式仍可表示为

X?k?1??F?k?X?k? （2.10）

式中，

X?k???xk?kx??kxyk?ky??k?? （2.11）y

??1??0?0F?k????0???0??0T1000012T2T10000000001T0100?0??0?0?? (2.12) 12?T2??T?1??状态向量维数增加估计会更准确，但估计的计算量也会相应地增加，因此在满足模

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型的精度和跟踪性能的条件下，尽可能地采用简单的数学模型。考虑不肯能获得目标精确模型以及许多不可预测的现象，所以这里要引入过程噪声。

考虑到目标运动过程中有可能有控制信号，所以目标状态方程的一般形式可表示为

X?k?1??F?k?X?k??G?k?u?k??V?k? （2.13）

式中，G?k?为输入控制项矩阵，u?k?为已知输入或控制信号，V?k?为过程噪声序列，通常假定为零均值的附加高斯白噪声序列，且假定过程噪声序列与量测噪声序列及目标初始状态时相互独立的。

2.2 量测方程

量测方程是雷达测量过程的假设，对于线性系统而言量测方程可表示为

Z?k??H?k?X?k??W?k? （2.14）

式中，Z?k?为量测向量，H?k?为量测矩阵，X?k?为状态向量，W?k?为量测噪声序列，一般假定其为零均值的附加高斯白噪声序列。

当在二维平面中以匀速或匀加速运动的目标进行建模时，对应的状态向量X?k?可分别用式（2.6）和式（2.11）表示，此时这两种情况下的量测向量Z?k?均为

Z?k???xkyk?? （2.15）

而量测矩阵H?k?分别为

?1000? H?k???? （2.16）

0010???100000? （2.17） H?k?????000100?2.3 小结

本章重点介绍了雷达数据处理的系统模型，其状态方程和量测方程。状态变量法

是描述系统的一种很有价值的方法。状态方程描述了由确定的时间函数和代表不可预测的变量或噪声的随机过程的输入关系；量测方程描述了输出的关系。状态方程和量测方程的确定为后面进行目标跟踪算法的分析奠定了基础。

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3 目标跟踪算法

机动目标跟踪算法概括来讲可以分为以下两类：具有机动检测的跟踪算法；无需机动检测的自适应跟踪算法。本论文中重点介绍卡尔曼滤波器[10]和具有机动检测的跟踪算法——变维滤波器[11]。

3.1 卡尔曼滤波器

在状态估计中，位置参数是个时间函数，因此在对观测数据进行处理时，未知参数和观测数据的时间演变都必须加以考虑。卡尔曼滤波器适用于有限观测间隔的非平稳问题，是适合于计算机计算的递推算法，在状态估计中得到了广泛地应用。

3.1.1 系统模型

状态变量法是描述动态系统的一种很有价值的方法，采用这种方法，系统的输入输出关系是用状态转移模型和输出观测模型在时域内加以描述的。输入可以由确定的时间函数和代表不可预测的变量或噪声的随机过程组成的动态模型进行描述，输出是状态向量的函数，通常受到随机观测误差的扰动，可由量测方程描述。

离散时间系统的动态方程（状态方程）可表示为

X?k?1??F?k?X?k??G?k?u?k??V?k? （3.1）

式中，F?k?为状态转移矩阵；X?k?为状态向量；G?k?为输入控制项矩阵；u?k?为已知输入或控制信号；V?k?是零均值、白色高斯过程噪声序列，其协方差为Q?k?；如果过程噪声V?k?用??k?v?k?代替，则Q?k?变为??k?q???k?，??k?为过程噪声分布矩阵。

?? ?V?k?V??j????Q?k??kj （3.2）

式中，?kj为Kronecker Delta函数，该性质说明不同时刻的过程噪声是相互独立的。

离散时间系统的量测方程为

Z?k?1??H?k?1?X?k?1??W?k?1? （3.3）

式中，H?k?1?为量测矩阵，W?k?1?为具有协方差R?k?1?的零均值、白色高斯量测噪声序列，即

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?? ?W?k?W??j????R?k??kj （3.4）

该性质说明不同时刻的量测噪声也是相互独立的。

上述离散时间线性系统也可由图3.1的框图来表示，该系统包含了如下先验信息：

??0|0?和协方差P?0|0?； ? 初始状态X?0?是高斯的，具有均值X? 初始状态与过程噪声和量测噪声序列不相关； ? 过程噪声和量测噪声序列互不相关。

V?k???k?W?k?动态方程X?k?量测方程F?k?X?k?1?H?k?Z?k?滤波器G?k?u?k?

图3.1 离散时间线性系统

在上述假定条件下，状态方程[见式(3.1)]和量测方程[见式(3.3)]的线性性质可保持状态和量测的高斯性质。根据已知的j时刻和j以前时刻的量测值对k时刻的状态X?k?做

??k|j?，则按照状态估计所指的时刻，估计问题可归纳为以下三种：出某种估计，记为X

??k|j?为k时刻状态X?k?的滤波值； ? 当k?j时，是滤波问题，X??k|j?为k时刻状态X?k?的预测值； ? 当k?j时，是滤波问题，X??k|j?为k时刻状态X?k?的平滑值； ? 当k?j时，是滤波问题，X3.1.2 滤波模型

动态（时变）情况下的最小均方误差估计可定义为

??k|k????X?k?|Zk? （3.5）??Xx ??式中，

Zk??Z?j?,j?1,2,?,k? （3.6）

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