2011数理方程模拟题

数学物理方程模拟试卷

一、写出定解问题（10分）

设枢轴长为l，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程：

（a） 在x=0固定，在x=l作用力F，在t=0时刻作用力突然停止 （b） 在x=l一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力F(t)

??2u2?2?u?0?x?l,??t2?a?x2,t?0? 解：（a）??u(x,0)?F,ut(x,0)?0,?0?x?l?

?E?u(0,t)?0,u?x?l,t??0,?t?0???

??2u2?2?u?t2?a2,?0?x?l,t?0?(b) ??x?u(x,0)?0,ut(x,0)?0,?0?x?l?

??u(0,t)?0,u?F?t??x?l,t??E,?t?0?其中E为扬氏系数。

二、判定方程的类型并化简（20分） 22例. 化简

?u2?uuu?x2??x?y?3?2?y2?2??x?6??y?0

解：已知a?1,b?1,c??3 特征方程为 2 dyb?b?ac?2dx?a?11

?dydx??1?y??x?c1

1） （

dydx?3?y??x?c1,

???x?y 令?

???3x?y??x?1,?y?1,?xx??xy??yy?0 ?? （2）

??3,???1,??????0yxxxyyy?xux?u??x?u??x,uy?u??y?u??y??22uxx?u????2u???x?x?u???x?u??xx?u??xx? （3） ?uxy?u???x?y?u??(?x?y??y?x)?u???x?y?u??xy?u??xy?22?u?u??2u???u??u??yy?u??yyyy??y??yy??y?将（2）代入（3），可得

u2?u??3u???uy?u??u????uxx?u???6u???9u?? （4） ?u?u?2u?3u???????xy??uyy?u???2u???u??把（4）代入（1），可得

u???6u???9u???2u???4u???6u???3u???6u???3u???2u??6u??6u??6u??0?16u???8u??0

即 u???12u??0

这就是我们所求的标准的双曲型方程。

三、（每小题10分，共20分）

①证明：y(x,t)?F(2x?5t)?G(2x?5t)为方程4?y?t22?25?y?x22的通解。

②求满足条件：y(0,t)?y(?,t)?0，y(x,0)?sin2x，yt(x,0)?0的特解。

解：①设2x?5t?u,2x?5t?v，得 y?F(u)?G(v)，

?y?t??F?u?u?t??G?v?v?t?F'(u)?5?G'(v)?(?5)

?5F'(u)?5G'(v)， （1）

?y?t22???t[5F'(u)?5G'(v)]?5?F'?u?u?t?5?G'?v?v?t

?25F\(u)?25G\(v)。 （2）

?y?x??F?u?u?x??G?v?v?x?F'(u)?2?G'(v)?2

?2F'(u)?2G'(v)， （3）

?y?x22 ???x[2F'(u)?2G'(v)]?2?F'?u?u?x?2?G'?v?v?x

?4F\(u)?4G\(v)，（4） 由（2）与（4），可得 4?y?t22?25?y?x22。

故满足方程，因为原方程为二阶方程，所以含有二个任意函数的解是通解。 ②由：y(x,t)?F(2x?5t)?G(2x?5t), yt(x,t)?可得

y(x,0)?F(2x)?G(2x)?sin2x， （5）

' yt(x,0)?5F'(2x)?5G'(2x)?5G'(2x)?0 （6）

'?y?t?5F'(2x?5t)?5G'(2x?5t)。

故 F'(2x)?G'(2x)。 ?F'(2x)?G'(2x)? ?F(2x)? G(2x)?即 y(x,t)?12121212cos2x，

sin2x?c1， sin2x?c2， sin2(x?5t)?12sin2(x?5t)?c1?c2。

利用 y(0,t)?0或y(?,t)?0知c1?c2?0。 故 y(x,t)?12sin2(x?5t)?12sin2(x?5t)

?sin2x?cos5t。

代入可验证这是所求的解。

四．求方程的一般解（20分） 1、 x2?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u?y22?x?u?x?y?u?y?0，

解：特征方程为

dydx??yx，?xy?c。

2???xy,?u1?u 令?， 代入方程得 ， ??2????????y. ?ln?u????ln??ln?(?)， ??u????(?)?。

u??(?)ln???(?)，?u(x,y)??(xy)lny??(xy)。 （一般解）

2、求下面方程的初值问题的解：

22??2u?u?u?3?0?2?22?x?y?x?y??2 ? uy?0?3x?uyy?0?0??????x?y, 解：作变换： ?

??3x?y.?可得方程

?u????2?0,

?u(?,?)??(?)??(?)??(x?y)??(3x?y), ??(x)??(3x)?3x,?? ?u?

??'(x)??'(3x)?0.y?0??y?uy?02??(x)??(3x)?3x2,? ? ?1?(x)??(3x)?c.?3?32c??(x)?x?,?44 ?29xc??(3x)??,44?32c??(?)????312244?u(x,y)??(?)??(?)?(x?y)?(3x?y). ? 2?c44??(?)??.44? ?u(x,y)?3x?y.

22

五、用分离变量法求解（30分）

?2u?auxx,tt???u(0,t)?0,' ?ux(l,t)?0,??u(x,0)?f(x),?'?ut(x,0)?F(x).(a2?E?).(t?0)

(0?x?l).其中u是坐标为x的截面的位移，l是杆长，?为单位长度的质量，E是杨氏系数。 解：应用分离变量法： 令 u(x,t)?X(x)?T(t), 即得 X(x)?Ccos?x?Dsin?x. T(t)?Acos?at?Bsin?at. 由边条件：

X(0)?0,?C?0, X'(l)?0,????2n?12l?。

?u(x,t)?由初条件：

?(2n?1)?2n?1(2n?1)(acosat?bsin?at)sin?x。 ?nn2l2l2ln?0 u?t?0?n?0?ansin2n?12l?x?f(x),

ut故得：

?t?0?n?1lbn(2n?12l?a)sin2n?12l?x?F(x)，

an? bn?2l?0f(x)?sin2n?12l?xdx，

2n?12l4(2n?1)?a?l0F(x)sin?xdx，

代入u(x,t)中，即得我们所要求的解。

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