大学物理参考习题2-2(2)

解：设所求振动方程为：x?Acos[2?Tt??]?0.02cos[4?t??]

由A旋转矢量图可求出 ?1?0,?2??/2,?3??/3,?4?2?/3 （1）x?0.02cos[4?t](SI) （2）x?0.02cos[4?t?（3）x?0.02cos[4?t?（4）x?0.02cos[4?t??2](SI) ](SI) ](SI)

?32?3题图5-5

5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5－7所示.求：（1）质点的振动方程；（2）质点到达P点相应位置所需的最短时间.

解：（1）设所求方程为：x?Acos(?t??0)从图中可见，t?0,x0?A/2,v0?0由旋转矢量法可知；?0??又?t?1s,?t???3?3??2

??5?65?6t?题图5-7

故：x?0.1cos(?3)m（2）?P点的相位为0??tp??0?5?6tp??3?0tp?0.4s

即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s

5-11一简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程. 解：设所求方程为x?Acos(?t??)

当t=0时：x1??5cm,v1?0由A旋转矢量图可得：?t?0?2?/3rad 当t=2s时：从x-t图中可以看出：x2?0,v2?0

题图5-11

题图5-11

据旋转矢量图可以看出， ?t?2?3?/2rad

所以，2秒内相位的改变量????t?2??t?0?3?/2?2?/3?5?/6rad 据?????t可求出：????/?t?5?/12rad/s 于是：所求振动方程为：x?0.1cos(512?t?23?)(SI)

5-16一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向轴正方向运动，求：（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从x??0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？

解：设该物体的振动方程为x?Acos(?t??)

依题意知：??2?/T??rad/s,A?0.06m 据???cos?1x0A由于v0?0,应取????/3(rad) 可得：x?0.06cos(?t??/3)

得 ????/3(rad)

（1）t?0.5s时，振动相位为：???t??/3??/6rad 据x?Acos?,得x?0.052m,v??A?sin?,v??0.094m/s,a??A?cos????x a??0.512m/s x??mm处向x轴负方向运动，到达平衡位置时，A矢量转

222（2）由A旋转矢量图可知，物体从

过的角度为???5?/6，该过程所需时间为：?t???/??0.833s

题图5-18

题图5-16

5-18 有一水平的弹簧振子,弹簧的劲度系数K=25N/m,物体的质量m=1.0kg,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力F=10 N作用在物体上(不计一切摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤除力F,当物体运动到最左边开始计时,求物体的运动方程. 解: 设所求方程为x?Acos(?t??0) ??Km?5rad/s 122因为不计摩擦,外力做的功全转变成系统的能量,故Fx?KA?A?2FxK?0.2m

又?t?0,x0??A,??0?? 故所求为 x?0.2cos(5t??)(SI)

5-23 一物体质量为0.25Kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k=25N/m，如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求：(1)振幅；(2)动能恰等于势能时的位移；(3)经过平衡位置时物体的速度.

（1）E?EK?EP?解：

12kA A?[2(EK?EP)/k]12221/2?0.08(m)

2(2)因为E?EK?EP?kA，当EK?EP时，有2EP?E，又因为EP?kx/2

得：2x?A，即x??A/222??0.0566(m)

122mv

(3)过平衡点时，x?0，此时动能等于总能量E?EK?EP?v?[2(EK?EP)/m]1/2??0.8(m/s)

5-25两个同方向的简谐振动的振动方程分别为:x1?4?10?2cos2?(t?)(SI),

8x2?3?10x3?5?10?21cos2?(t?14（1）合振动的振幅和初相；（2）若另有一同方向同频率的简谐振动)(SI)求：

?2则?为多少时，cos(2?t??)(SI)，x2?x3的振幅最小？ x1?x3的振幅最大？?又为多少时，

解：（1）x?x1?x2?Acos(2?t??)

按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为

A?4?3?24cos(?/2??/4)?1022?2?6.48?10?2m

??arctg4sin(?/4)?3sin(?/2)4cos(?/4)?3cos(?/2)?1.12rad

所以，合振动方程为x?6.48?10?2cos(2?t?1.12)(SI) (2)当???1?2k?，即??2k???/4时，x1?x3的振幅最大.

当???2?(2k?1)?，即??2k??3?/2时，x2?x3的振幅最小.

x0?A2，试用旋转矢量法，求：（1）

加—2、某简谐振动曲线如图所示，已知振幅A，周期T。t?0时，

??该振动方程的初相?；（2）a,b两点的相a和b；（3）从t?0到a,b两态所用时间。

t?0,x0?A2,v0?0,所以?＝－?3

解：（1）

（2）a点为正向最大位移处，下一时刻向x轴负方向运动，所以

?b???a?0。

b点为平衡位置，且下一时刻向x轴负方向运动，所以

TT2。 T6

（3）因?为定值，则从a到b为4，从t?0到a为 4?23?所以

ta?T6,tb?T6?T4?5T12

加—3一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间；

??2?T?0.5?rad?s?1解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴

x??A,??0?0又，t?0时，0

故振动方程为 (1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2x?24?10?2cos(0.5?t)m

cos(0.5?t)m?0.17m2

F??ma??m?x??10?10?3?(?2)?0.17??4.2?102?3N

方向指向坐标原点，即沿x轴负向． ??0(2)由题知，t?0时，0，

x0??A2,且v?0,故?t??3

t?t时

t???∴

???3/?2?23

x0??A2,v0?0s加-4某简谐振动，振幅为A，周期为T。计时开始t?0时，

x??A，试求：

其振动方程的初相；由

t?0,x??A22处运动到平衡位置O处所需最短时间。

解：（1）

（2）?为定值，

x??A,v0?0,??4?3

所以

从

2到平衡位置走过30(360?12)。 所以

??t?T12

习题六

6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：y?0.04cos(2.5?t??x)(SI)(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出t=1s和t=2s的波形，并指出波峰和波谷.画出x=1.0m处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.

解：（1）用比较法，由y?0.04cos(2.5?t??x)?Acos(?t???A?0.04m ???/2??2.5?/2??1.25Hz

2?2??x)得

???,??2.0m u????2.5m/s

（2）?m?A??0.314m/s

题图6-2

（3）t=1(s)时波形方程为：y1?0.04cos(2.5???x)；t=2(s)时波形方程为：y2?0.04cos(5???x)

x=1(m)处的振动方程为：y?0.04cos(2.5?t??)

6-7 已知一平面简谐波的波方程为y?0.25cos(125t?0.37x)(SI)(1)分别求x1?10m,x2?25m两点处质点的振动方程；(2)求x1、x2两点间的振动相位差；(3)求x1点在t=4s时的振动位移. 解：(1)x1?10m、x2?25m的振动方程分别为：

y?0.25cos(125t?3.7)(SI), y?0.25cos(125t?9.25)(SI)

x?10x?25(2) x2与x1两点间相位差 ????2??1??5.55rad

(3) x1点在t=4s时的振动位移 y?0.25cos(125?4?3.7)?0.249m

6-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为

y?3?10?2cos4?t(SI).(1)以A点为坐标原点写出波方程；(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写

出波方程.

解：(1)坐标为x处质点的振动相位为

?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)]

波的表达式为 y?3?10?2u

cos4?[t?(x/20)](SI)

B A 题图6-8

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