2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2015.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1??21．已知集合A=?1,2，?，集合B=?y|y?x,x?A?，则AB? ．
2??2．若复数z?1?2i(i为虚数单位），则z?z?z? ．
3．已知直线l的一个法向量是n?1,?3，则此直线的倾斜角的大小为 ． 4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k?是 ．
5．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?3,c?2,A?积为 ．
6．设函数f(x)?log2(2x?1)，则不等式2f(x)?f?1(log25)的解为 ． 7．直线y?x与曲线C:?
??800?16．若从1~16中随机抽取501个数的结果是抽到了7，则在编号为33~48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该
?3，则?ABC的面
?x?3cos?(?为参数，????2?)的交点坐标是 ．
?y?4sin?C18．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互
B1独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为 ．
?1??29．矩阵?3???n?a1n?A?a22a2ia2n?a32a3ia3n?中每一行都构成公比为2的等比
??an2aniann??ASn数列，第i列各元素之和为Si，则lim2n? ．
n??n?2AB?BC，AB?BC?BB1,10．如图所示：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
ABC所成的二面角的大小为 ． 则平面A1B1C与平面
1a12a1iBC1??11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为a，二项式?mx2??x??的展开式中x项的系数为
34a，则常数m? ． 212．设f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数，若
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函数f(x)?g(x)的值域为[1,3)，则函数f(x)?g(x)的值域为 ．
13．?ABC所在平面上一点P满足PA?PC?mABm?0,m为常数，若?ABP的面积 为6，则?ABC的面积为 ． 14．对于曲线C所在平面上的定点P0，若存在以点P0为顶点的角?，使得???AP0B对于曲线C上的任意两个不同的点A,B恒成立，则称角?为曲线C相对于点P，并称0的“界角”
2??x?1(x?0)其中最小的“界角”为曲线C相对于点P．曲线C:y??相0的“确界角”2??2?1?x(x?0)对于坐标原点O的“确界角”的大小是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
x?3?0同解的是（ ） 15．下列不等式中，与不等式
2?x（A）?x?3??2?x??0 （B）?x?3??2?x??0
??（C）
2?x3?x?0 （D）?0 x?3x?216．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（ ） （A）M?N是必然事件 （B）M?N是必然事件 （C）M与N一定为互斥事件 （D）M与N一定不为互斥事件 17．在极坐标系中，与曲线??cos??1关于直线??是（ ） （A）??sin(（C）??sin(?6(??R)对称的曲线的极坐标方程
?3??)?1 （B）??sin(?3??)?1
?6??)?1 （D）??sin(?6??)?1
218．已知函数f(x)?x?sinx，各项均不相等的数列?xn?满足xi??2(i?1,2,3,,n)．令
F(n)?(x1?x2??xn)??f(x1)?f(x2)?nf(xn)?(n?N*)．给出下列三个命题：
(1)存在不少于3项的数列?xn?，使得F(n)?0；
?1?*(2)若数列?xn?的通项公式为xn?????n?N*?，则F(2k)?0对k?N恒成立；
?2?*(3)若数列?xn?是等差数列，则F(n)?0对n?N恒成立．
其中真命题的序号是（ ）
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)
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三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在Rt?AOB中，?OAB??6，斜边AB?4，D是AB的中点．现
将Rt?AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且?BOC?．
2（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
一个随机变量?的概率分布律如下：
?? P x1 x2 sin(B+C)cos2A 其中A,B,C为锐角三角形．．．．．ABC的三个内角．
（1）求A的值；
（2）若x1?cosB，x2?sinC，求数学期望E?的取值范围．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A,B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C,D．已知梯形的高是40厘米，
ABPOQC、D两点间的距离为40厘米．
（1）求横梁AB的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．
（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
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22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数f(x)?1?1?1?1?，x?g(x)?x?????．
2?x?2?x?（1）求函数h(x)?f?x??2g?x?的零点；
（2）若直线l:ax?by?c?0a,b,c为常数与f(x)的图像交于不同的两点A、B，与g(x)的图像交于不同的两点C、D，求证：AC?BD； （3）求函数F(x)???f?x???2n?????g?x???2n?n?N?的最小值．
*
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于一组向量a1,a2,a3,?,an(n?N)，令Sn?a1?a2?a3???an，如果存在
*ap(p??1,2,3． ,n?)，使得|ap|?|Sn?ap|，那么称ap是该向量组的“h向量”
*（1）设an?(n,x?n)(n?N)，若a3是向量组a1,a2,a3的“h向量”，
求实数x的取值范围； （2）若an?(()13n?1,(?1)n)(n?N*)，向量组a1,a2,a3,?,an是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知a1、、，其中a1?(sinx,cosx)， a2a3均是向量组a1,a2,a3的“h向量”
a2?(2cosx,2sinx)．设在平面直角坐标系中有一点列Q1,Q2,Q3,?,Qn满足：Q1为
坐标原点，Q2为a3的位置向量的终点，且Q2k?1与Q2k关于点Q1对称，Q2k?2与
Q2k?1(k?N*)关于点Q2对称，求|Q2013Q2014|的最小值．
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理科参考答案
一、填空题：（每题4分） 1. ?1? 2. 6?2i 3. 6. x?0 7. ???3 4. 39 5. 621?1212?,?? 8. 0.58 9.
45??5?15?10. 11. 12. ??3,?1? 13. 12 14.
4124
二、选择题：（每题5分）
15. D 16. A 17. C 18. D
三、解答题 19、解：（1）在Rt?AOB中，OB?2，即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积S侧??rl?8?………………..4’
故圆锥的全面积S全=S侧+S底?8?+4??12?……………….6’ （2）解法一：如图建立空间直角坐标系． 则A(0,0,23),C(2,0,0),D(0,1,3)
A z ?AO?(0,0,?23),CD?(?2,1,3)………………..8’
设AO与CD所成角为? 则cos??AO?CDAO?CD??66………………..10’ ??423?22D ?异面直线AO与CD所成角为arccos6………………..12’ 4O C B y
解法二：过D作DM//AO交BO于M，连CM
则?CDM为异面直线AO与CD所成角………………..8’ ?DM?MC ?DM?平面OBC 在Rt?AOB中，AO?23?DM?3
QD是AB的中点 ?M是OB的中点 ?OM?1?CM?5 x QAO?平面OBC在Rt?CDM中，tan?CDM?53?15，………………..10’ 3??CDM?arctan1515，即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan……………….12’ 33
20、解：（1）由题cos2A?sin?B?C??1，………………..2’
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