★ 形成性考核作业 ★
离散数学图论部分形成性考核书面作业讲评
图论作为离散数学的一部分，教学目标是培养学生的抽象思维能力与数学建模能力，并为学生学习后续专业课程等建立必要的数学基础。
图论部分主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容包括图的基本概念与结论、几种特殊的图和树，主要内容有图的基本概念、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。
因此，本次作业主要是复习这部分的主要概念与计算方法，共安排了五种类型题目，其中单项选择题、填空题各有10个题，判断说明题、计算题、证明题各有4题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型。通过对作业的批阅，发现作业中错误比较集中在以下一些问题中，在此给出一些分析。
一、单项选择题
1．设图G的邻接矩阵为
?0?0??1??0??00001110000010010??1?0? ?1?0??
则G的边数为( )．
A．5 B．6 C．3 D．4 正确答案是：D。
许多同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。
定义3.3.1 设G=
A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素
aij??1????0vi与vj相邻vi与vj不相邻或i?j
而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点vi与vj相邻时，
结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8?2=4条边。
6．图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集
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D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集 正确答案是：C。
许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。 定义3.2.9 设无向图G=
如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。
8．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )． A．G中所有结点的度数全为偶数 B．G中至多有两个奇数度结点 C．G连通且所有结点的度数全为偶数 D．G连通且至多有两个奇数度结点 正确答案是：D。
许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。 这样应该用定理4.1.1选择才是正确的。
9．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．
A．m?n?1 B．m?n C．m?n?1 D．n?m?1 正确答案是：A。
许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图T为树的定义等价之一是图T连通且e=v-1中的公式用错了．大家只要把m代入公式e=v-1中的e，把n代入公式e=v-1中的v，可以知道答案A是正确。
二、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 ．
应该填写：15。
许多同学填错答案主要对握手定理掌握的不好。
定理3.1.1（握手定理） 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则
?deg(v)?2|E|
v?V因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即?deg(v)?1?1?2?2?3?3?4?4?30，所以边数有E?30/2?15。
v?V 2
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2．设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集是 ．
应该填写：{f}，{c，e}。
许多同学填错答案主要对点割集的概念理解不正确。
定义3.2.7 设无向图G=
许多同学填写的{f，c}是不满定义3.2.7的，因为{f}是{f，c}的真子集，而删除{f}后，图是不连通的。
6．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度。 许多同学填1，不知为什么。
如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.1.2：一个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度．大家一定能填写出正确答案的。
7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当 时，Kn中存在欧拉回路．
应该填写：n为奇数。
许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。
定义3.1.6 简单图G=
由定义可知，完全图Kn中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数。
由定理4.1.1的推论可知，应该填写：n为奇数。
10．给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．
应该填写：1。因为在二进制中1是10和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.2.10）：给定一个序列集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码．
填写该题答案是，大家一定要对前缀码的定义理解非常清楚。
三、判断说明题
2．给定两个图G1，G2（如下图所示）：
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（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．
v1 e4 v4
分析：大家的判断都正确，而且欧拉图的理由说明也是正确的。 问题是
1．欧拉回路的书写不规范，正确的写法（不惟一）： v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e5v5 e7 v2 e8v6 e6 v4 e4v1
2．汉密尔顿图的理由说明不对，其实只要写出一条汉密尔顿回路（不惟一）： a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a 即可。
四、计算题
1．设图G??V，E?，其中V??a1, a2, a3, a4, a5?,
E???a1, a2?，?a2, a4?，?a3, a1?，?a4, a5?，?a5, a2??
（1）试给出G的图形表示； （2）求G的邻接矩阵；
（3）判断图G是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？
解：（1）图G是有向图： （2）邻接矩阵如下：
e1 e6
e5 v6 e8 e3
v2
e7 e2 v5
v3
a2 ? a3 ?
? a4 ?a 5 ?a 1
?0?0?A(D)??1??0??01000100000010000??0?0?, ?1?0??（3）单侧连通图．
讲评：作业中的问题主要是粗心大意，如有向图中有些边上没标方向，在邻接矩阵中第1行第3列中填了1。因此，做题要细心。
2．图G=
（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
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解：（1）G的图形表示为：
（2）邻接矩阵：
?0?1??1??0?1??0?1001101000100100111111010??0?0??1?1??0??a
? 2 c ? 1 ? e 1
5 6
b ? 2 9 3 ? d
8
? f
（3）粗线表示最小的生成树：
2 c ? 1
a ? 1
5 6
b ? 2 9 3 ? d
e?
8
? f
最小的生成树的权为1+1+5+2+3=12．
讲评：作业中的最小的生成树求错，主要是没有把握“取权数最小的边且与前面取到的边不构成圈”的方法。
4．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试
（1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值．
讲评：作业中最优二叉树都画对了，但计算总权值时把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误。
五、证明题
讲评：证明题几乎全部做错，应该是大家对证明题方法没有掌握，也是一些概念不清楚所造成的，希望大家各自分析原因，找出问题所在，通过作业逐步掌握做证明题的方法。
1．若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
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证明：用反证法．设G中的两个奇数度结点分别为u和v．假设u和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．
2．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．
证明：因为n是奇数，即n阶完全图每个顶点度数为偶数．那么，若G中顶点v的度数为奇数时，在补图G中v的度数一定也是奇数，所以G与G中的奇数度顶点个数相等．
3．设G是连通简单平面图，则它一定有一个度数不超过5的结点．（提示：用反证法）
证明：因为G是连通简单平面图，它的每个面至少有3条边，所以有
3r?2e，即r?2e3e3
假设结论不成立，则每个结点的度数都大于等于6．则有
6v?2e，即有v?
由欧拉公式： 2=v?r?e?e3?2e3?e=0
矛盾．所以G中至少有一个结点的度数小于或等于5．
4．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能
2k使其成为欧拉图．
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图．
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