2016考研数学二历年真题（2003年—2016年） - 图文(3)

数学二历年考研试题

?考虑lim?x???x21x1?tdt1?tdt2?lim122x1?x21?x122x??????，所以limf(x)???.

x???1所以函数f(x)在(??,)及(,??)上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的

温差成正比，现将一初始温度为120?C的物体在20?C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30?C，若要将该物体的温度继续降至21?C，还需冷却多长时间？ 【答案】30min

【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k(?0)，介质温度为m,则

dx??k(x?m)，从而x(t)?Ce?kt?m， dtx(0)?120,m?20，所以C?100，即x(t)?100e?kt?20

11?20

2100t?1当x?21时，t?１，所以还需要冷却３０min.

又x()?30,所以k?2ln10，所以x(t)?(21) (本题满分10分)

已知函数f?x?在区间?a，+??上具有2阶导数，f?a??0，f??x??0，f''?x??0，设

b?a，曲线y?f?x?在点?b,f?b??处的切线与x轴的交点是?x0，0?，证明a?x0?b.

【证明】根据题意得点(b,f(b))处的切线方程为y?f(b)?f?(b)(x?b)

令y?0，得x0?b?f(b) ?f(b)因为f?(x)?0所以f(x)单调递增，又因为f(a)?0 所以f(b)?0，又因为f?(b)?0

所以x0?b?f(b)?b ?f(b) 11

数学二历年考研试题

又因为xf(b)0?a?b?a?f?(b)，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有 f(b)?f(a)b?a?f?(?),??(a,b)

所以x0?a?b?a?f(b)f(b)f(b)f?(b)?f?f?(b)?f?(?)?f?(b)?f(b)(?)f?(b)f?(?) 因为f??(x)?0所以f?(x)单调递增 所以f?(b)?f?(?)

所以x0?a?0，即x0?a，所以a?x0?b，结论得证. (22) (本题满分 11 分)

?a1设矩阵A??0??1a?1???且A3?O.

?01a??(1) 求a的值；

(2) 若矩阵X满足X?XA2?AX?AXA2?E，E为3阶单位阵，求X. 【答案】

?20?1

a?0,X?????11?1???21?1???【解析】

a10010(I)A3?O?A?0?1a?1?1?a2a?1?a3?0?a?0

01a?a1a(II)由题意知

X?XA2?AX?AXA2?E?X?E?A2??AX?E?A2??E??E?A?X?E?A2??E?X??E?A??1?E?A2??1???E?A2??E?A??1????X??E?A2?A??1 12

数学二历年考研试题

?0?1E?A2?A??1???111??，

???1?12????0?11M100??1?1?1M0?10???111M010?????0?11M100???1?12M001???? ???1?12M001?????1?1?1M0?10??1?1?1M0?10??01?1M?100??????01?1M?100???0?21M0?11????00?1M?2?11???1?1020?1??100M31?2???M?010M11?1?????010M11?1??001M21?1?? ????001M21?1????X??31?2??11?1??

??21?1?? (23) (本题满分11 分)

??1设矩阵A??02?3???13?3???相似于矩阵B???20???1?2a??0b0???.

?031??（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵. 【答案】

（1）a?4,b?5； （2）

?2?3?1?

P???10?1????011??【解析】(I)A~B?tr(A)?tr(B)?3?a?1?b?1

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数学二历年考研试题

02?31?20A?B??13?3?0b0 1?2a031???a?b??1?a?4?2a?b?3???b?5 ?(II)A??02?3???13?3?????100??010??????12?3???12?3???1?23????001???E?C

???1?23????12?3??C????12?3??????1???1???1?23?

?1?23????1??C的特征值?1??2?0,?3?4

??0时(0E?C)x?0的基础解系为?1?(2,1,0)T;?2?(?3,0,1)T??5时(4E?C)x?0的基础解系为?3?(?1,?1,1)T

A的特征值?A?1??C:1,1,5

?2?令P?(??3?1?10?1?1,?2,?3)???，

??011???1??P?1AP???1??

??5??

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数学二历年考研试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析

一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【答案】（C）

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f??(x)的图形可得，曲线y?f(x)存在两个拐点.故选（C）.

(2)设y?解，则( )

(A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1 【答案】（A）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

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12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一个特23

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