任意角的三角函数2

课 题 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 任意角的三角函数 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，三角函数值的符号和诱导公式（一）。 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号） 必考点 教 学 内 容 教学过程： 一．三角函数定义 1.在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为P(x,y)，它与原点的距离22为r(r?|x|?|y|?x2?y2?0)，那么 （1）比值yy叫做α的正弦，记作sin?，即sin??； rrxx叫做α的余弦，记作cos?，即cos??； rryy叫做α的正切，记作tan?，即tan??； xx （2）比值 （3）比值 （4）比值xx叫做α的余切，记作cot?，即cot??； yy定义：正弦、余弦、正切、余切分别可看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射。他们都是以角为自变量以比值为函数值的函数。它们统称为三角函数。 说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点P(x,y)在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当???2?k?(k?Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0， 所以tan??yx无意义；同理当??k?(k?Z)时，cot??无意义； xy④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值xyxy、、、分别是一个确定的实数， yrrx正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。三角函数值是一个比值，这个实数的大小与P点在终边的位置无关，而由角α的位置确定。 2．三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

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3．特殊角的三角函数值： 角a 弧度 sina cosa tana 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° y?sin? R R {?|??[?1,1] y?cos? y?tan? [?1,1] R ?2?k?,k?Z} 例1．已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的四个函数值。 例2．已知角α的终边过点(a,2a)(a?0)，求α的四个三角函数值。 解：因为过点(a,2a)(a?0)，所以r?5|a|， x?a,y?2a 当a?0时，sin??xa5ay2a2a25；tan??2;cot??1;sec； ??5;csc??5cos???????r5r55a5|a|5a22xa5ay2a2a251 tan??2;cot??;sec． ???5;csc?cos?????a?0时，sin??????r?5a5r525|a|?5a 4．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： y对于第一、二象限为正（y?0,r?0），对于第三、四象限为负（y?0,r?0）； rx②余弦值对于第一、四象限为正（x?0,r?0），对于第二、三象限为负（x?0,r?0）； ry③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）． x①正弦值 练习： 确定下列三角函数值的符号： （1）cos250； （2）sin(???4)； （3）tan(?672?)； （4）tan11?． 35．诱导公式(一） 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有： sin(??2k?)?sin?， k?Z．） 公司一： cos(??2k?)?cos?， （其中 tan(??2k?)?tan?， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成 sin(80??2k?)?sin80?，

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cos(?3?k?360?)?cos?3是不对的 sin(??)??sin? （公式二） cos(??)?cos?tan(??)??tan?sin(???)?sin?（公式三） cos(???)??cos? tan(???)??tan? ??sin(???)??sin?sin?????cos?? （公式四） cos(???)??cos? (公司五） ?2 ???cos?????sin?tan(???)?tan??2?【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： “负化正，大化小，化到锐角就行了”（有时也直接化到锐角求值）。 2、例题分析： 例1 求下列三角函数值：（1）sin960； （2）cos(???43?)． 60（3）求三角函数式sin?1200*cos1290+cos?1020*sin?1050)+tan945的值。 方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ??②化为?内的三角函数； 0,360??0?0???0?0?③化为锐角的三角函数。 及时练习：计算： （1） sin?50+sin2?2??+sin?2??55?00????sin2??+??? 5??? (2) tan10+tan1430+sin1866?sin?654 ?0?cot??cos(???)?sin2(3???) 例2 化简：(1)． 3tan??cos(????) （2） sin?2n?? 解： ??2??4???（重点讨论） ? ?cos?n??? （ n∈Z ）3?3??

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2cos(???)?3sin(???)已知tan(???)?3,求： 的值。 例3. 4cos(??)?sin(2???) 例4：已知sin?3?????? 3 课堂练习： （1）．若sin(1，求cos?2????的值。 3?2??)?cos(???)，则?的取值集合为 ?4k?Z} B．{?|??2k??D．{?|??k???2 （ ） A．{?|??2k?? （2）．已知tan(? A．|a|1?a2?4k?Z} k?Z} C．{?|??k?k?Z} 14?)?a,那么sin1992?? 15 B．a1?a2 （ ） C．?a1?a2 D．?11?a2 （3）．设角???35???)的值等于 ?,则2sin(?2??)cos(???)?cos(61?sin??sin(???)?cos2(???)（ ） A．33B．－C．3 D．－3 3 3 sin(k???)?cos(k???)的值为 sin[(k?1)???]cos[(k?1)???]（4）．当k?Z时， A．－1 （ ） B．1 C．±1 D．与?取值有关 （5）．设f(x)?asin(?x??)?bcos(?x??)?4)?5, (a,b,?,?为常数），且f(2000)? （ ） 那么f(2004 A．1 B．3 C．5 D．7 （6）．已知sin??3cos??0,则sin??cos?? . sin??cos? 4、课堂练习答案： （1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 2

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课后练习与提高 一、选择题 3?3??)值为 （ ） ，则sin(4423311A. B. — C. D. — 222213π2．cos (?+α)= —，<α<2?,sin?2???? 值为 （ ） 223331A. B. C. ? D. — 22223．化简：1?2sin(??2)?cos(??2)得 （ ） A. sin2?cos2 B. cos2?sin2 C. sin2?cos2 D.±cos2?sin2 1．已知sin(???)?4．已知tan??3，????3?，那么cos??sin?的值是（ ） 2A ?1?31?31?3?1?3 B C D 2222 二、填空题 5．如果tan?sin??0,且0?sin??cos??1,那么?的终边在第 象限 6．求值：2sin?1110 ?sin960+2cos(?225?)?cos(?210?)＝ ． 三、解答题 ?0?02cos3??sin2(???)?2cos(????)?1?7．设f(?)?，求f()的值． 32?2cos2(7???)?cos(??) 8．已知方程sin???3?? = 2cos???4??，求 sin(???)?5cos(2???)的值 3?2sin(??)?sin(??)2?11?sin(2???)cos(???)cos(??)cos(??)229 ．化简：. 9?cos(???)sin(3???)sin(????)sin(??)2 10. 已知sin(???)? 11. 已知sin?,cos?是关于x的方程x?ax?242sin(???)?3tan(3???),且sin?cos??0,求的值. 54cos(??3?)17??0的两根，且3????. 22求 tan(6???)sin(?2???)cos(6???)的值.cos(??180?)sin(900???) 第 5 页 共 5 页

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