高等数学课后习题答案第六章

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

12311 A??0(x?x)dx?[x2?x2]10?. 326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为

32 A???3[(3?x2)?2x]dx??

31 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 132 A???1(2x?3?x2)dx?(x2?3x?x3)|3? ?1?333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? 1 (1) y?x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

222218 A1?2?0(8?x2?x2)dx?2?08?x2dx??0x2dx?2?08?x2dx?

23 ?16?4cos2tdt?8?2??4?

0334 A2?(22)2??S1?6???

3?1 (2)y?与直线y?x及x?2?

x 解?

所求的面积为

A??(x?1)dx?3?ln2?

1x22 (3) y?ex? y?e?x与直线x?1?

解?

所求的面积为

11 A??0(ex?e?x)dx?e??2?

e (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解

所求的面积为

A??lnaeydy?eylna?b?a

3? 求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?

lnblnb

y???2 x?4?

过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y?4(x?3)? 过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y??2x?6? 3 两切线的交点为(, 3)? 所求的面积为

2 A??02[4x?3?(?x2?4x?3)]??3[?2x?6?(?x2?4x?3]dx?9?

4233p 4? 求抛物线y2=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积?

2 解

2y?y??2p ?

pp 在点(,p)处? y??(p,p)?1? 法线的斜率k??1?

2y2p3p法线的方程为y?p??(x?)? 即x??y?

22p9求得法线与抛物线的两个交点为(,p)和(p,?3p)?

22法线与抛物线所围成的图形的面积为

3py23pp A???3p(?y?)dy?(y?1y2?1y3)?3p?16p2?

22p226p3p5? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?

(1)??2acos? ??? 解?

所求的面积为

??1222 A???(2acos?)d??4a?02cos2?d???a2? 2?2 (2)x?acos3t, y?asin3t; 解

所求的面积为 A?4?0ydx?4?

(3)?=2a(2+cos? )? 解

a332224?(asint)d(acost)?4a03costsintdt20??

?12a2[02sin4tdt?02sin6tdt]?3?a2?

8????

所求的面积为

2?12? A??0[2a(2?cos?)]2d??2a2?0(4?4cos??cos2?)d??18?a2?

2 6? 求由摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱(0?t?2?)与横轴?所围成的图形的面积?

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