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第八章 位移法

一. 教学目的

掌握位移法的基本概念；

正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程；

熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节

§8-1 位移法的基本概念 §8-2 等截面杆件的刚度方程 §8-3 无侧移刚架的计算 §8-4 有侧移刚架的计算 §8-5 位移法的基本体系 §8-6 对称结构的计算 §8-7小结 §8-8思考与讨论 §8-9 习题 §8-10 测验 三. 学习指导

位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。

四. 参考资料

《结构力学教程(Ⅰ)》P393～P433

§8-1 位移法的基本概念

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法，力法是以多余的约束力作为基本未知量，而位移法则是以结点位移作为基本未知量。

下面结合简单实例说明位移法的基本思路。

图8-1

如图8-1a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC 在结点B 处有相同的转角θ，称为结点B 的角位移。将整个刚架分解为AB、BC 杆件，则

AB 杆件相当于两端固定的单跨粱，固定端B发生一转角θ( 图8-1b )，BC 杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在 B 端发生角位移( 图8-1c )。如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的关键是求结点的角位移。

用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位移。对于位移法的基本计算将在今后具体分析。

§8-2 等截面杆件的刚度方程 一. 教学目的

本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。

二. 主要内容

1. 由杆端位移求杆端弯矩(1) 由杆端位移求杆端弯矩(2)

2. 由荷载求固端弯矩(1) 由荷载求固端弯矩(2) 三. 学习指导

本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解其中的关系和符号。

根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截面杆件的两个问题：由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。

四. 参考资料

《结构力学教程(Ⅰ)》 P397～P404 8.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(1)

图8-2为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点A 和B 的角位移分别是θA 和θB ，两端垂直于杆轴的相对线位移为Δ，拟求杆端弯矩。

图8-2

在位移法中位移的正负号规定为：结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正。这一点一定要注意与以前的不同。

应用单位荷载法可得出：

杆件的线刚度 i=EI/l 解联立方程可得：

利用平衡条件可求出杆端剪力如下：

于是可将上式写为：

则矩阵

称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。 下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。 8.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(2)

根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程

以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。

图8-3

对于图8-3a B 端为固定支座，θB = 0 ，则得

对于图8-3b B 端为铰支座，MBA = 0 ，则得

对于图8-3c B 端为滑动支座，θB =0 和 FQAB = 0 FQBA =0 ，则得

下面将讨论由荷载引起的固端弯矩。

8.2.3 由荷载求固端弯矩(1)

对于常见的三种粱：两端固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑动支承，下表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力，又称固端弯矩和剪力，其正负号要注意。下面是两端固定粱的固端弯矩和剪力。

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