1高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义（集合部分）2

高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)

第一章 集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.

【典例精析】

【例1】在集合{1,2,?,n}中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .

〖分析〗已知{1,2,?,n}的所有的子集共有2个.而对于?i?{1,2,?,n},显然{1,2,?,n}中包含i的子集与集合{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这就说明i在集合

n{1,2,?,n}的所有子集中一共出现2n?1次,即对所有的i求和,可得Sn?2n?1n?1(?i).

i?1n【解】集合{1,2,?,n}的所有子集的元素之和为2=n?(n?1)?2n?1.

(1?2???n)?2n?1?n(n?1) 2〖说明〗本题的关键在于得出{1,2,?,n}中包含i的子集与集合{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.

222【例2】已知集合A?{x|x?3x?2?0},B?{x|x?4ax?3a?0}且A?B,求参数a的取值范围.

〖分析〗首先确定集合A、B,再利用A?B的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得A?{x|?2?x??1},B?{x|(x?a)(x?3a)?0} 当a?0时,B?{x|a?x?3a},由A?B知无解; 当a?0时,B??,显然无解;

当a?0时, B?{x|3a?x?a},由A?B解得?1?a?综上知,参数a的取值范围是[?1,].

〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.

?【例3】已知x?R,y?R,集合A?{x?x?1,?x,?x?1},B?{?y,?2222. 323y,y?1}.若A?B,2则x?y的值是( )

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A.5 B.4 C.25 D.10

【解】?(x?1)2?0,?x?x?1??x,且?x?x?1?0及集合中元素的互异性知

22x2?x?1??x,即x??1,此时应有x2?x?1??x??x?1.

而y?R?,从而在集合B中,y?1??y??y. 2?x2?x?1?y?1(1)?y??x??(2) 由A?B,得?2?(3)???x?1??y由(2)(3)解得x?1,y?2,代入(1)式知x?1,y?2也满足(1)式.

?x2?y2?12?22?5.

〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中

对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.

【例5】已知A为有限集,且A?N,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.

【解】设集合A={a1,a2,?,an}(n?1)且1?a1?a2??an,由a1?a2???an?a1?a2???an,

*an?n(n?N*),得nan?a1?a2???an?a1?a2???an?an(n?1)!,即n?(n?1)!

?n?2或n?3(事实上,当n?3时,有(n?1)!?(n?1)(n?2)?(n?1)?2?n).

当n?2时,a1?a2?a1?a2?2a2,?a1?2,?a1?1,而1?a2?1?a2,?n?2. 当n?3时,a1?a2?a3?a1?a2?a3?3a3,?a1?a2?3,?a1?1,a2?2. 由2a3?3?a3,解得a3?3. 综上可知,A?{1,2,3}.

〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.

22【例6】已知集合P?{x|x?3x?2?0},S?{x|x?2ax?a?0},若S?P,求实数a的

取值组成的集合A.

2【解】P?{x|1?x?2},设f(x)?x?2ax?a.

2①当??(?2a)?4a?0,即0?a?1时,S??,满足S?P;

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②当??(?2a)2?4a?0,即a?0或a?1时, 若a?0,则S?{0},不满足S?P,故舍去; 若a?1时,则S?{1},满足S?P.

2③当??(?2a)2?4a?0时,满足S?P等价于方程x?2ax?a?0的根介于1和2之间.

??0??a?0或a?1(?2a)??1?a?2?2?1???2即??a??. ??f(1)?0??1?a?0?f(2)?0??4?3a?0?综合①②③得0?a?1,即所求集合A?{a|0?a?1}.

〖说明〗先讨论特殊情形(S=?),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对?分类讨论,确定

a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论??0.

22【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集 M?{(x,y)||x?y?1|?2(x?y),x,y?R},

N?{(x,y)||x?a|?|y?1|?1,x,y?R}. 若 M?N??, 则 a 的取值范围是

．

【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x?y?1?0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (a,1) 为中

y心的正方形及其内部的点集(如图)．

考察 M?N?? 时, a 的取值范围:

令 y?1, 代入方程|x?y?1|?2321-22(x?y) ,

-322-1O-11234567x得 x?4x?2?0，解出得 x?2?6． 所以，

当 a?2?6?1?1?6 时, M?N??． ???? ③

令 y?2，代入方程 |x?y?1|?2(x2?y2), 得 x2?6x?1?0. 解出得

x?3?10．所以，当 a?3?10 时, M?N??． ???? ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1?6?a?3?10，即 a?[1?6,3?10] 时,

M?N??．故填 [1?6,3?10].

2222【例8】已知集合A?{a1,a2,a3,a4},B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4,

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a1,a2,a3,a4?N.若A?B?{a1,a4},a1?a4?10.且A?B中的所有元素之和为124,求

集合A、B.

2【解】?a1?a2?a3?a4,且A?B?{a1,a4},?a1?a1,又a1?N,所以a1?1. 22又a1?a4?10,可得a4?9,并且a2?a4或a3?a4.

22若a2?9,即a2?3,则有1?3?a3?9?a3?81?124,解得a3?5或a3??6(舍)

此时有A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.

2若a3?9,即a3?3,此时应有a2?2,则A?B中的所有元素之和为100?124.不合题意.

}. 综上可得, A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.

【例9】满足条件|g(x1)?g(x2)|?4|x1?x2|的函数g(x)形成了一个集合M,其中

2x1,x2?R,并且x12,x2?1,求函数y?f(x)?x2?3x?2(x?R)与集合M的关系.

〖分析〗求函数f(x)?x2?3x?2集合M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.

【解】?|f(x1)?f(x2)|?|(x1?3x1?2)?(x2?3x2?2)|?|x1?x2|?|x1?x2?3| 取x1?22459,x2?时, |f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?4|x1?x2|. 662由此可见,f(x)?M.

〖说明〗本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数f(x)是否属于M,只要找至一个或几个特殊的xi使得f(xi)不符合M中的条件即可证明f(x)?M.

}及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按【例10】对集合{1,2,?,2008递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如{1,2,4,6,9}的“交替和”是

9?6?4?2?1?6,集合{7,10}的“交替和”是10－7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.

试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合{1,2,?,n}求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A的非空子集共有24

2008?1个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可

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能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设Ai是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令Ai与{4}?Ai相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.

【解】集合{1,2,?,2008}的子集中,除了集合{2008},还有22008?2个非空子集.将其分为两

类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果

}是第一类的集合;如果Bj是第一类中的集合,则Bj中除Ai是第二类的,则必有Ai?{20082008外,还应用1,2,??,2007中的数做其元素,即Bj中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A的所有子集的“交替和”为

12008(2?2)?2008?2008?22007?2008. 2n同样可以分析{1,2,?,n},因为n个元素集合的子集总数为2个(含?,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n的子集有2n?1个,不包括n的子集的个数也是2n?1个,将两类子集

一一对应(相对应的子集只差一个元素n),设不含n的子集“交替和”为S,则对应的含n子集的“交替和”为n?S,两者相加和为n.故所有子集的“交替和”为2n?1?n.

〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.

【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？

〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为5n.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.5n被4、3、2除时都余地，即5n?1是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.

【解】设游行队伍的总人数为5n(n?N)，则由题意知5n分别被4、3、2除时均余1，即

?5n?1是4、3、2的公倍数，于是可令5n?1?12m(m?N)，由此可得：n??12m?1 ①5要使游行队伍人数最少，则式①中的m应为最少正整数且12m?1为5的倍数，应为2.于是

?可令m?5q?2(p?N)，由此可得：n?[12?(5p?2)?1]?12p?5，5n?60p?25 ②

15所以60p?25?1000，p?161. 4第 5 页 共 6 页

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取p?17代入②式，得5n?60?17?25?1045

故游行队伍的人数最少是1045人. 〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.

【例12】设n?N且n≥15，A,B都是{1，2，3，?，n}真子集，A?B??，且A?B={1，2，3，?，n}.证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数.

【证明】由题设，{1，2，3，…，n}的任何元素必属于且只属于它的真子集A,B之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n}的真子集A,B，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.

2 不妨设1∈A，则3?A，否则1+3=2，与假设矛盾，所以3∈B.同样6?B，所以

6∈A，这时10?A，，即10∈B.因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=4，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=5，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.

22【赛向点拨】

1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.

2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.

3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.

4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.

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