2010佛山二模

（2010佛山二模）

11. 两个志愿者组织共有志愿者2400人，现用分层抽样的方法，从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本，已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150，那么乙志愿者组织志愿者的人数是 ．

12. 已知椭圆上一点P到两个焦点之间距离的和为4,其中一个焦点的坐标为(3,0),则椭圆的离心率为_____________.

13．已知函数f(x)?ax?1?2a(a?0,且a?1)有两个零点,则a的取值范围是_______. 14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P为方程

?????cos??sin???1所表示的曲线上一动点，点Q?2,?，

?3?C E F A

B

则PQ的最小值为____________．

15．（几何证明选讲）如图,以AB?4为直径的圆与△ABC的两边

第15题图

分别交于E,F两点，?ACB?60，则EF? .

?

20．（本题满分14分）

如图，抛物线C1:y?8x与双曲线C2:2xa22?yb22点A?1(a?0,b?0)有公共焦点F2，

是曲线C1,C2在第一象限的交点，且AF2?5. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切， 圆N：(x?2)?y?1．已知点P(1,3)，过点P作互相垂 直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截 得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t． 请说明理由．

st22是否为定值？

11．150 12．

32 13．0?a?12 14．

62 15．2

20．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵抛物线C1:y2?8x的焦点为F2(2,0)，∴双曲线C2的焦点为F1(?2,0)、

F2(2,0)，设A(x0,y0)在抛物线C1:y?8x上，且AF2?5，

2由抛物线的定义得，x0?2?5，∴x0?3，∴y0?8?3，∴y0??26，∴

2|AF1|?(3?2)?(?26)?7， 又∵点A在双曲线上，由双曲线定义得，

y2222a?|7?5|?2，∴a?1，∴双曲线的方程为：x?st23?1．

（Ⅱ）为定值.下面给出说明. 设圆M的方程为：(x?2)2?y2?r2，双曲线的渐近

线方程为：y??3x，∵圆M与渐近线y??3x相切，∴圆M的半径为

231?(3)2r2??3，故圆M：(x?2)2?y2?3，

设l1的方程为y?设l2的方程为y?3?k(x?1)，即kx?y?3?k?0， 3k?1?0，

3??1k(x?1)，即x?ky?∴点M到直线l1的距离为d1?∴直线l1被圆M截得的弦长

?3k?3?s?23????2?2??1?k?2|3k?1?k3|2，点N到直线l2的距离为d2?|3k?1|1?k2，

63k?6k1?k22， ………………………… 12分

直线l2被圆N截得的弦长

?t?21????3k?1???22?1?k?22223k?2k1?k22， ………………………… 13分

∴

st?63k?6k23k?2k?6(3k?k)2(3k?k)st22?3，故st为定值3．

解法2(几何证法) （Ⅱ）为定值3，证明如下：

易知两圆的圆心分别是F1(?2,0),F1(2,0)，半径分别是3,1.且PF1?PF2. (1) 当l1是直线PF1时, 则l2是PF2,此时，弦长等于直径，故?ty P O F2F1 (2) 当l1不是直线PF1时, s232?3 设l1被圆M截得的弦为B1C1,弦的中点为D1，设l2被圆N截得的弦为B2C2,弦的中点为

D2,由PF1?PF2及l1?l2，可得?F1PD1??F2PD2,

故Rt△F1PD1∽Rt△F2PD2，所以

F1D1F2D2?PF1PF2?3，

所以

F1D1F2D2??F1B1F2B2??3,所以Rt△F1B1D1∽Rt△F2B2D2,所以

B1D1B2D2?3

y 3 C1D1故 st2B1D12B2D2PB2B1F1O D2F2C2x

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