合工大数字信号处理习题答案最新版

合工大《数字信号处理》习题答案

第2章

习 题

2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)?x(n?n0) （3）y(n)?x(n)sin(?n)

解： （1）T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?ay1(n)?by2(n)

所以是线性系统。 由于T[x(n)]?x(n?n0)

T[x(n?m)]?x(n?m?n0)?y(n?m)

所以是时不变系统。

（3）T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]sin(?n)?ay1(n)?by2(n)，

所以是线性系统。

T[x(n?m)]?x(n?m)sin(?n)?y(n?m)，所以不是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）y(n)?x(n)?x(n?1) （3）y(n)?e解：

（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n?1)时间）的输入有关。如果|x(n)|?M，则|y(n)|?|x(n)|?|x(n?1)|?2M，因此系统是稳定系统。

（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|?M，则

x(n)

|y(n)|?|ex(n)|?e|x(n)|?eM，因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。 （1）h(n)?2u(n)

n 1

（3）h(n)??(n?2)

解：（1）当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的。

由于

n????|h(n)|?2?0?21?22????

所以系统不稳定。

（3）当n?0时，h(n)?0，所以系统是非因果的。

由于

n????|h(n)|?1

?所以系统稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出

y(n)。

解：

y(n)?h(n)?x(n)?[2?(n)??(n?1)?0.5?(n?2)]?x(n)

?2x(n)?x(n?1)?0.5x(n?2)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2)?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)

2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)?R4(n)，x(n)?R5(n) （3）h(n)?0.5u(n)，x(n)?R4(n) 解：（1）y(n)?x(n)?h(n)?R4(n)?R5(n)

n?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?R5(n)?R5(n)?R5(n?1)?R5(n?2)?R5(n?3)??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?4?(n?3)?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n?6)??(n?7)（3）y(n)?x(n)?h(n)?0.5u(n)?R4(n)

n 2

?0.5nu(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?0.5u(n)?0.5u(n?1)?0.5

2.10 设系统由下面差分方程描述：

nn?1n?2u(n?2)?0.5n?3u(n?3)

y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1) 22设系统是因果的，

（1）求该系统的单位抽样响应。

（2）利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。 2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5

......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)

（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)

= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)

第3章 习 题

3.1 求下列序列的z变换，并标明收敛域。 （1）x(n)??(n?4)

?1?（2）x(n)???u(n)

?2??1?（3）x(n)????u(?n?1)

?2?解：（1）由z变换的定义可知，

?nnX(z)??n?????(n?4)zn?n?z?4，z?0

n?11?1??1??n?n（2）X(z)????u(n)z????z?，|z|?

12n????2?n?0?2?1?z?12 3

???1??1??n（3）X(z)?????u(?n?1)z?????z?n

?2?n???n??1?2???nn ???2n?1nzn?11，|z|? 121?z?12?3z?13.2 已知X(z)?，分别求：

2?5z?1?2z?2（1）收敛域为0.5?|z|?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域|z|?2对应的原序列x(n)。

?3z?1?3z??解： X(z)??1?222?5z?2z2z?5z?2nzz?12?z z?2?1?（1）x(n)???u(n)?2nu(?n?1)

?2??1?（2）x(n)?[???2n]u(n)

?2?3.3 已知序列x(n)的傅立叶变换为X(e)，试求下列序列的傅立叶变换。 （2）x2(n)?x(n)

?j?nx?(?n)?x(n)（4）x4(n)?

2解： （2）X2(ej?)?n????x(n)e???j?n??????x(n)ej?n??X?(e?j?) ?n????j??（4）由于DTFT[x(?n)]=X(ejw??)

X?(ej?)?X(ej?)X4(e)??Re[X(ej?)]

23.4 设题3.4图所示的序列x(n)的傅立叶变换用X(e)表示，不直接求出X(e)，完成下列运算： （2）

j?j???X(e??j?)d? （4）?|X(ej?)|2d?

??? 4

解： （2）

???X(e?j??j?)ej?nd??2?x(n)

??X(e?)d??2??x(0)?4?

)|d??2?2（4）

??|X(e??j?n????|x(n)|?2?28?

3.5用留数定理法分别求以下X(z)的z反变换：

1?1z12（1）X(z)?， |z|?；

121?z?2411?z?112解：（1）X(z)? ?1?21?11?z1?z42111n?1|z|?，设为内的逆时针方向的闭合曲线。 x(n)?zdzc?c122?j1?z?1211当n?0时，zn?1?zn

111?z?1z?221在c内有z??一个单极点，则

2111x(n)?Res[zn,?]?(?)nu(n)

122z?21?又由于x(n)是因果序列，故n?0时，x(n)?0。所以

1x(n)?(?)nu(n)

2

3.7 已知下列因果序列x(n)的z变换为X(z)，求该序列的初值x(0)和终值x(?)。

z?1（2）X(z)? ?1?1(1?0.5z)(1?0.5z)解： (2) x(0)?limX(z)?0

z??x(?)?lim(z?1)X(z)?0

z?1

5

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