新课标高三数学专题 - 圆锥曲线

新课标高三数学专题---圆锥曲线

（一）椭圆知识点:

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数

(PF1?PF2?2a?F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭

圆的焦距.

注意：若(PF1迹无图形.

?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨

2、椭圆的标准方程

x2y2222 1）．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c?a?b；

aby2x22222）．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c?a?b；

abx2y23、椭圆：2?2?1(a?b?0)的简单几何性质

abx2y2（1）对称性：对于椭圆标准方程2?2?1(a?b?0)：是以x轴、y轴

ab为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对

称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x??a和y??b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x?a，y?b。

x2y2（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆2?2?1(a?b?0)与坐标轴的

ab四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(?a,0)，A2(a,0)，B1(0,?b)，B2(0,b)。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A2?2a,B1B2?2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短

半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e?2cc?。②因为2aa(a?c?0)，所以e的取值范围是(0?e?1)。e越接近1，则c就越接近a，从而b?a2?c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且

22仅当a?b时，c?0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x?y?a。 x2y2 注意： 椭圆2?2?1的图像中线段的几何特征（如下图）：

ab (PF1?PF2?2a)

PF1PM1?PF2PM2?e；

2a2?)；

c(PM1?PM2

1

4、椭圆的令一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

PF1PM1?PF2PM2?e

椭圆

标准方程 方程 参数方程 椭圆C1：（a>b>0）； xy??122ab22 y2x2 椭圆C2：2?2?1 ab （a?b?0）； ?x?acos? ? ?y?bsin? y F y 图形 P B2 ?A1 ? A l2 ? F1 O B1 F2 ? A2 x B O F? P ?B x l1 l1 焦点坐标 顶点 l2 A1 F1??c,0?，F2?c,0? F1?0,?c?，F2?0,c? A1??a,0?，A2?a,0?； A1?0,?a?，A2?0,a?； B1?0,?b?，B2?0,b?； B1??b,0?，B2?b,0?； x≤b，y≤a； 范围 准线 几何性质 焦半径 x≤a，y≤b； a2a2a2a2l1：x??，l2：x? l1：y??，l2：y? ccccr1?PF1?a?ex0， r2?PF2?a?ex0 r1?PF1?a?ey0， r2?PF2?a?ey0 P?x0,y0??C 对称性 离心率 关于x,y轴均对称，关于原点中心对称； e?c??0,1? aa,b,c的关系

c?a2?b2 2

焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2?b2tan（?F1PF2??，b为短半轴长） ?2a2两准线间距离： cb2焦准距： c2b2通径（过焦点与长轴垂直的弦）： a

位置关系

x2y21.点P(x0,y0)与椭圆2?2?1的位置关系:

abx2y2当2?2?1时,点P在椭圆外; abx2y2 当2?2?1时,点P在椭圆内;

abx2y2 当2?2?1时,点P在椭圆上

ab2.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交???0; 直线与椭圆相切???0; 直线与椭圆相离???0 3.弦长公式：

x2y2已知直线l:y?kx?m,椭圆:2?2?1(a?b?0)，交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?1?k2?x1?x2aby2x21已知直线l:y?kx?m,椭圆:2?2?1(a?b?0)，交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?1?2?y1?y2abk四.点差法：

适用：求平行弦的中点轨迹，求过定点的弦中点的轨迹，求被定点平分的弦所在直线的方程

(二)双曲线知识点：

一．双曲线定义：

⑴第一定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a?F1F2的动点P的轨迹叫双曲线,

其中两个定点F1,F2叫双曲线的焦点.

当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为双曲线 ;

3

当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在;

当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为 以F1,F2为端点的两条射线

⑵双曲线的第二定义:平面内到定点F与定直线L (定点F不在定直线L上)的距离之比是常数e(e>1)

的点的轨迹为双曲线

双曲线 标准方程 x2y2??1（a?0,b?0） a2b2y2x2??1（a?0,b?0） a2b2 y P y F2 O 简图 x P F1 OF2 x F1 ?x?asec?参数方程：y?btan? 焦点坐标 顶点 范围 y?asec?x?btan? F1??c,0?，F2?c,0? F1?0,?c?，F2?0,c? A1??a,0?，A2?a,0? x≥a，y?R A1?0,?a?，A2?0,a? y≥a，x?R 实轴: 线段A1A2=2a 虚轴: 线段B1B2=2b 准线 几何性质 a2x?? c a2y?? c 渐近线方程 焦半径 y??bxa y??axb PF1???ex0?a?， PF1???ey0?a?， PF2???ey0?a? P?x0,y0??C PF2???ex0?a? 对称性 离心率

P在左支上用“?”， ， P在下支上用“?”P在右支上用“?” P在上支上用“?” 关于x,y轴均对称，关于原点中心对称； e?c??1,??? a4

a,b,c的关系 c?a2?b2 焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2?b2?cot?2（?F1PF2??，b为虚半轴长） a2两准线间距离： cb2焦准距： c2b2通径（过焦点与长轴垂直的弦）： acb2b注：①e??1+2 （?e2?1） aaax2y2x2y2b②双曲线2?2?1(a?0，b?0)的渐近线方程为2?2?0.即y??x

ababax2y2x2y2③与双曲线2?2?1(a?0，b?0)具有共同渐近线的双曲线方程可表示为2?2??(??0)

ababx2y2b④若双曲线的渐近线方程为y??x，则双曲线的方程可表示为2?2??(??0)

aba

抛物线知识点：

（一）：抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l(定点F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线

注：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。

y2?2pxy2??2px x2?2py x2??2py 标准方程 （p?0） （p?0） （p?0） （p?0） 图形 y y y O F? x F ? y O ? F O x O x F? x 法 设法 范围 焦点 准线 焦半径 对称轴 顶点

y2（,y） 2px≥0，y?R x≤0，y?R y≥0，x?R ?p??0,? ?2?py?? 2pPF?y0? 2y≤0，x?R p??0,??? 2??py? 2?p??p?,0 ????,0? 2???2?ppx?? x? 22ppPF?x0? PF??x0? 22x轴 PF??y0?p 2y轴 ?0,0? 5

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