数值分析练习1-3章

第一章 绪论

一、填空题

1、 已知e?2.71828?，求x的近似值a的有效数位和相对误差： 题号 精确数x x的近似数a a的有效数位 a的相对误差 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ e e e/100 e/100 2.7 2.718 0.027 0.02718 2、 设原始数据x1，x2，x3和x4的近似值（每位均为有效数字）如下：

a1=1.1021，a2=0.031，a3=385.6，a4=56.430

则 ⑴ a1+a2+a4= ，相对误差界为 ； ⑵ a1a2a3= ，相对误差界为 ； ⑶ a2/a4= ，相对误差界为 。 二、为使20的近似值的相对误差小于0.01%，问应取多少位有效数字？

三、当x接近于0时，怎样计算

1?cosx以及当x充分大时，怎样计算

sinx1?x?x，才会使其结果的有效数字不会严重损失。

四、在数值计算中，为了减小误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相

应的实例.

五、对于序列

In??10xndx,n?0,1,?x?999，试构造两种递推算法计算

I10，在你构造的算法中，那一种是稳定的，说明你的理由；

第二章 插值法

１、在互异的n+1个点处满足插值条件P(xi)=yi,(i=0,1,…n)的次数不高于n 的

多项式是( )的

(Ａ)存在且唯一 (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯一

2、当f(x)是次数不超过n的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )

(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)自身 （D）次数超过n 3、 插值基函数的和

?lj?0nj(x)= ( )

(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定

4、 设f(x)=x3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )

(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定

5、( )插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，而( )插值方法

计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的方法

(Ａ)构造性 (Ｂ)解方程组 (Ｃ)拉格朗日 (Ｄ)牛顿

６、一般地，内插公式比外推公式( ),高次插值比低次插值( )，但

当插值多项式的次数高于七、八次时，最好利用( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)高次

７、整体光滑度高，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应用广泛的分

段插值方法为（ ）.

（Ａ）分段线性插值 （Ｂ）分段抛物插值 （Ｃ）分段三次埃尔米特插值 （Ｄ）三次样条插值。

８、差商与差分的关系式为

f[x0,x1,…,xk]=（ ）,f[xn,xn-1,…,xn-k]=（ ）。

?kfn?kf0?kfn?kf0 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）

k!hkk!hkk!hkk!hk

二、填空题

1、插值问题是指

。通常称 为插值函数， 为插值区间， 为被插值函数， 称为插值节点。 2、讨论代数多项式插值问题的原因是 。 3、Lagrange插值多项式为_________________ 。 4、设函数Y=F(X)在[a,b]上的n阶导数F?n??X?连续，F?n?1??X?在（a,b）内存在，Ln(x)是F(X)在x0,x1,?,xn处的n次Lagrange插值多项式，则对[a,b]中每一个点x存在依赖于x的点?x??a,b?，使插值余项R(x)= 。 其插值误差与 有关。 5、牛顿插值公式为 ________________。 6、埃尔米特插值问题是解决 。

7、样条插值问题的提法是 。记 称为S(x)

在节点xk处的弯矩。 称为三弯矩法。 ８、已知函数Y=F(x)的观测数据为

X Y 1 0 2 -5 3 -6 4 3 则三次Lagrange插值多项式为

。

三、已知函数表： X Y=sinX 0.32 0.314567 0.34 0.36 0.333487 0.352274 分别用拉格朗日线性插值和抛物线插值求sin0.3367的近似值，并估计截断误差。

四、已知F(x)=Shx的函数值 X Y 0.4 0.41075 0.55 0.57815 0.65 0.69675 0.80 0.88811 0.90 1.02652 1.05 1.25382 求N3?x?，再由N3?x?增加节点x=0.9求N4?x?，并计算F(0.596)的近似值。

五、给定f(X)=cosX的函数值 X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 F(X) 1.0

六、给定函数表为

X F(x) 2.2 0.5207843 -0.0014878 2.4 0.5104147 -0.1004889 2.6 0.4813306 -0.1883635 0.995 0.98006 0.95533 0.92106 0.87758 0.82533 求cos0.048及cos0.575的值，并估计余项。

F'?x? 利用Hermite插值求F(2.5)的近似值。

七、已知函数Y=F(x)的函数值 X F(x) 0.25 0.5000 0.30 0.5477 0.39 0.6245 \0.45 0.6708 \0.53 0.7280 求三次样条插值函数S(x)，使其满足S?0.25??S?0.53??0。

八、设f(x)=

1在［-１，１］上，取n=5,按等距节点求分段线性插值

1?25x2函数Ih?x?,并求各节点中间处Ih?x?的值。

九、证明：n次拉格朗日插值基函数L0?x?可写成

L0?x??1??x?x0??x?x1??x?x0??x?x1???x?xn?1?x?x0?????x0?x1??x0?x2???x0?xn?x0?x1?x0?x1??x0?x2?

十、证明：n阶差商的下列性质：

⑴若F(x)=cf(x),则F[x0,x1,?,xn]=cf[x0,x1,?,xn]； ⑵若F(x)=f(x)+g(x)，则

F[x0,x1,?,xn]=f[x0,x1,?,xn]+g[x0,x1,?,xn]。

十一、数值试验题

１、已知由ＭＡＴＬＡＢ生成的一组原始数据

t=linspace(0,5,100);y=1-cos(3*t).*exp(-t)，确定它们所代表的函数穿越y?0.95线的时刻。

（１）通过图形初步判断第一个穿越时刻(利用plot与ginput)； （２）利用插值获得较准确的穿越时刻（分别利用一维插值interp1之中的nearest、cubic、spline选项）；

（３）利用求零点语句fzero求穿越时刻，以便与（2）比较（可以不作）。 ２、利用MATLAB环境

（１）画出函数f(x)=cos(x)在区间[0,pi]上的图形；

（２）分别画出将上面区间等分成Ｎ＝４，1０，１００时的分段线性插值的图形。

第三章 函数逼近与曲线拟合

一、选择题

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