利用几何画板画抛物线的常见思路和方法

以画法为主线对抛物线综合复习

（2011 3 ）

安徽省砀山第二中学朱奇勇

以画法为主线对抛物线综合复习

安徽省砀山第二中学 朱奇勇（235300）

在高三数学的一节复习课中，笔者组织学生动手，以在几何画板中画抛物线为主线，对抛物线的定义，性质，方程和画法进行综合复习。这节课容量大，探究性突出，学生参与程度高，直观形象，效果很好。下面以抛物线y2?2px(p?0)为例，并设抛物线的准线为l:x??y2?2px(p?0)；或者选中点A，左键单

击“编辑”——“操作类按钮”——“动画”，再选中M点，左键单击“显示”——“跟踪交点”，这时左键单击“动画点”按钮，可以看出动点A在准线l上作上下运动，而动点

M的轨迹即是抛物线y2?2px(p?0).

pp，焦点为F(0,)，及22画法2：①同画法1①；

②设准线l与x轴交于点C，在x轴正半轴上任取点A，过A点作直线l1?x轴

③连接线段CA，并度量CA的长度，以焦点F为圆心，以线段CA的长为半径画圆，设该圆与直线l1交于M1,M2两点；

④选中点A，M1,M2，左键单击“构造”——“轨迹”即得动点M1,M2的轨迹是抛物线y2?2px(p?0)；或者选中A点，左键单击“编辑”——“操作类按钮”——“动画”得“动画点”按钮，再选中点

坐标原点为0，侧重介绍在几何画板中画抛物线的常见思路和方法，其中对抛物线的定义，性质和方程等内容予以综合复习，欢迎同行指正。

一 抛物线定义与画法：如果一动点

到一定点的距离和该动点到一定直线的距离相等，那么这个动点的轨迹叫抛物线.

画法1：①打开几何画板，左键单击“绘

图”——“定义坐标系”，并作点F(0,直线l:x??p)，2p. 2②在直线l上任取点A, 连接线段AF，选取线段AF的中点C；

③过A点作直线l1?l，过C点作直线

M1,M2，左键单击“显示”——“跟踪交

点”.这时左键单击“动画点”按钮，可以看到点A在x轴正半轴上左右运动，而动点

l2?AF，设直线l1与l2的交点为M；

④选中点A，M，左键单击“构造”——“轨迹”，即得动点M的轨迹是抛物线

M1,M2的轨迹就是抛物线

y2?2px(p?0).

1

画法3：①同画法1①；

②在准线l上任取点A,过点A作直线

线CM2垂直并且平分线段BF；

⑤A,O,M2三点共线，B,O,M1三点共线；

⑥直线CM1是抛物线的切线，并以点

l1?l，再作直线AF;

③选中直线AF，左键单击“变换”——“标记镜面“，使直线AF可以作为对称轴.

④在x轴上任取点C（异于点F），作点C关于直线AF的对称点C：选中C点，左键单击“变换”——“反射”，即得点C关于直线AF的对称点C'，再作直线CF，设直线CF与直线l1交点为M;

⑤同画法1④

'''M1为切点；直线CM2也是抛物线的切线，

并以M2为切点。（以上性质文字证明此处省咯）

画法4：①同画法1①

②在准线l上任取点A，作直线AF，过点F作垂直于AF的直线BF，设该直线与准线l交于点B；

③分别过点A、B作平行于x轴的直线再作直线AO,BO，设直线AO与l2l1和l2，

交于M2点，直线BO与l1交于M1点；

④选中点A、M1，M2，左键单击“构造”——“轨迹”，即得点M1和M2的轨迹就是抛物线y2?2px(p?0)；或者选中点

二 抛物线焦点弦性质及其推广与画法

性质：过抛物线y2?2px(p?0)的

焦点F(0,p)任作一直线，交抛物线于2M1,M2两点，线段M1M2叫做抛物线的“焦

点弦”；分别过点M1,M2作直线l1,l2，使

l1?l，l2?l，并设l1与l交于点A，l2与

l交于点B。设线段AB的中点为C。则抛

物线有如下性质：

①直线AF?BF; ②直线M1C?M2C; ③直线CF?M1M2;

④直线CM1垂直并且平分线段AF，直

1

A，左键单击“编辑”——“操作类按钮”

——“动画”，得“动画点”按钮，再选中M1和M2点，左键单击“显示”——“跟踪交点”，这时左键单击“动画点”按钮，可以看出点A在准线l上作上下运动，而动点M1和

M2的轨迹就是抛物线y2?2px(p?0)。

画法5：①②同画法4①②；

③取线段AB的中点C，作直线CF。再过点F作直线l3⊥直线CF；

④分别过A点，B点作平行于x轴的直线l1和l2，设直线l1与l3交于M1点，直线l2与l3交于点M2;

⑤同画法4④

明）。

画法7：①同画法1①

②在直线l':x??2p上任取点A，作直线AO。过坐标原点O作直线OB?OA，且直线OB与直线l'交于B点；

③分别过点A、B作平行于x轴的直线

画法6：①同画法1①

②在准线l上任取一点C，连接线段

l1和l2，设直线l1与直线OB交于点M1，直

线l2与直线AO交于点M2；

④同画法4④，其中要把画法4④中的字母l改为字母l'。

CF。以C为圆心，以线段CF的长为半径

画圆，与准线交于A、B两点；

③过点F作直线l3?CF，再分别过点

三 抛物线方程与画法 已知抛物

线方程y2?2px(p?0)，给定纵（横）坐标y(x)的值，通过方程y2?2px(p?0)，可以求出横（纵）坐标x(y)的值，从而确定抛物线上点M(x,y)。

A、B作平行于x轴的直线l1和l2，设直线

l1与l3交于M1点，直线l2与l3交于点M2;

④同画法4④，其中要把画法4④中的字母A改为字母C。

推广：设坐标原点为O，直线

l':x??2p，点H(0,2p)，过点H任作一

直线交抛物线y2?2px(p?0)于M1和

画法8：①同画法1①；

②在准线上l:x??p上任取A点，选2M2两点，分别过点M1、M2作平行于x轴

的直线l1和l2，设直线l1 与l交于A点，直线l2与l交于B点。则有如下结论：

①直线OM1?OM2;

②A、O、M2三点共线，B、O、M1三点共线。（请读者自己给出该性质的文字证

'中A点，左键单击“度量”——“纵坐标”，得A点的纵坐标值yA。

'③左键单击“数据”——“计算”——

2yAyA——∧——2——÷——2p得xA?2p的值。再左键单击“绘图”——“绘制点”——xA——yA，得点M(xA,yA)

④同画法1④

2

画法9：①同画法1①

②在x轴正半轴上任取点A，选中A点，左键单击“度量”——“横坐标”，得A点的横坐标xA的值；

③左键单击“数据”——“计算”——“函数”——“Sqrt（二次根号）”——2pxA,得值2pxA，同理可得值?2pxA；

④左键单击“绘图”——“绘制点”—— xA——-

M1(xA,2pxA)，同理可得点M2(xA,?2pxA).

⑤同画法2④.

从画法的角度对抛物线进行综合复习是一个很好的尝试，而且效果很好，有兴趣的读者不妨一试。上述关于在几何画板中画抛物线的操作步骤，清晰，简洁，只要在几何画板界面按上述步骤操作即可得到相应图形，故本文未给出图形说明，以免枉占篇幅，

2pxA，得点

请谅解。

3

1 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是个这样的三角形（ ）

111，，，则此人能否作出一13115A 不能作出 ； B 能作出一个锐角的； C 能作出一个直角的；D 能作出一个钝角的。 2 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段。在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为____。

3 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间?0,2?上是增函数，若方程f(x)?m(m?0)在区间上有4个不同的根x1,x2,x3,x4，则 x1?x2?x3?x4?__.

4 如图，A,B是直线l上两点，且AB?2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B两点，C是两圆的公共点，则圆弧AC,BC与线段AB围成的封闭图象的面积S的范围是___。

1 D. 2 4. 3 -8. 4 ?0,2?????2?? .

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