2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第2章 第4讲 幂函数

第4讲 幂函数与二次函数

1

最新考纲 1.了解幂函数的概念；掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1.幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象

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(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R， 且x≠0} {y|y∈R， 且y≠0} 奇 y＝x y＝x 21y＝x 3y＝x2 y＝x－1 值域 奇偶性 2.二次函数 R 奇 [0，＋∞) 偶 R 奇 [0，＋ ∞) 非奇非偶 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) ?4ac－b??? ，＋∞?4a?b??在?－∞，－2a?上单调递减； ???b?在?－2a，＋∞?上单调递增 ??2f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) (－∞，＋∞) 4ac－b???－∞，? 4a??b??在?－∞，－2a?上单调递增； ???b?在?－2a，＋∞?上单调递减 ??2单调性 对称性 b函数的图象关于x＝－2a对称 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x3是幂函数.( )

(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )

2

4ac－b

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4a.( )

1

1

解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝x，故y＝2x3不是幂函数，(1)错.

α

(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.

4ac－bbb

(4)对称轴x＝－2a，当－2a小于a或大于b时，最值不是4a，故(4)错. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝23，b＝33，c＝253，则( ) A.b

4

4

2

1

2

2

2

2

B.a2

解析 因为a＝23＝43，b＝33，c＝53又y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b. 答案 A

3.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( ) A.5

B.－5

C.6

D.－6

解析 由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6. 答案 C

4.(2017·杭州测试)若函数f(x)是幂函数，则f(1)＝________，若满足f(4)＝8f(2)，?1?则f?3?＝________.

??

解析 由题意可设f(x)＝xα，则f(1)＝1，由f(4)＝8f(2)得4α＝8×2α，解得α＝3，1?1??1?所以f(x)＝x3，故f?3?＝?3?＝27. ????1

答案 1 27

5.若幂函数y＝(m－3m＋3)x________.

2

?m－3m＋3＝1，

解析 由?2解得m＝1或2.

m－m－2≤0，?

2

m2－m－23

的图象不经过原点，则实数m的值为

经检验m＝1或2都适合. 答案 1或2

6.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________.

解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2. 答案 (－∞，－2]

考点一 幂函数的图象和性质

?12?

【例1】 (1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，则k

?22?＋α等于( ) 1A.2

B.1

3 C.2

D.2

112

(2)若(2m＋1)2>(m＋m－1)2，则实数m的取值范围是( )

?－5－1?

? A.?－∞，

2??C.(－1，2)

?5－1?

B.?，＋∞? ?2??5－1?D.?，2? ?2?

2?1?解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f?2?＝2，

??213?1?α

所以?2?＝2，解得α＝2，从而k＋α＝2.

??(2)因为函数y＝x2的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，

＋1≥0，?2m2

所以不等式等价于?m＋m－1≥0，

?2m＋1>m2＋m－1.

1

??

－5－1解得?m≤或m≥

2

??－1＜m＜2，

即

5－1

2≤m<2. 答案 (1)C (2)D

1m≥－2，5－1 2，规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；

(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )

(2)已知幂函数f(x)＝(n＋2n－2)x上是减函数，则n的值为( )

2

n2－3n

(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)

A.－3 B.1 C.2 D.1或2

解析 (1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，

11

∴α＝2，因此f(x)＝x2，根据图象的特征，C正确.

(2)∵幂函数f(x)＝(n＋2n－2)x

2

?n＋2n－2＝1，∴?2∴n＝1， ?n－3n<0，

2

n2－3n

在(0，＋∞)上是减函数，

又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1. 答案 (1)C (2)B

考点二 二次函数的图象与性质

【例2】 (2017·湖州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间.

解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4， 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).

22

x＋2x＋3＝（x＋1）＋2，x≤0，?2

(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x－2|x|＋3＝?2 2

x－2x＋3＝（x－1）＋2，x>0，?

其图象如图所示，

又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数.

规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意：

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