第五章信度理论1

第五章 信度理论

本章研究信度理论。根据信度理论厘定的信度保费，是非寿险保费计算的一个重要方法。从二十世纪初到现在，信度理论先后经历了两个发展阶段：一是早期的有限扰动信度理论；二是现代的以贝叶斯理论为基础的最精确信度理论。我们将依次介绍这些理论，以及根据这些理论厘定的信度保费，并以现代信度理论中的Buhlmann方法为重点。此外，我们还将介绍风险异质的识别和处理方法，以及无赔款折扣优惠系统。本章所说的保费指纯保费，附加费和利润等暂不考虑。

§5.1 有限扰动信度理论

令X表示某一险种的实际损失。X可以代表该险种的索赔次数，索赔频率或赔款额。

X是个随机变量。关于这一险种的实际损失X，我们有前期历史经验数据x1,?,xn。它们可以是其他保险人同类损失数据，也可以是某个保险人过去的损失数据。显然，这些数据不可能全都相等，他们之间有扰动，存在着误差。有限扰动信度理论(limited fluctuation credibility theory)假设这些误差都纯粹是由随机性引起的。这也就是假设x1,?,xn是来自于总体X的，独立同分布的样本。 5.1.1 完全可信性

设损失X的期望为E[X]??。根据期望值原理，将下一期保费厘定为?。一般来说，

?是未知的。完全可信性(full credibility)理论基于有限扰动信度理论的假设，认为当样本容

n量n足够大时，可将下一期保费定价为历史经验数据的平均：P?x??i?1xin。这就要

求x和?充分接近，即要求x和?的相对误差，?x????充分地小。为此有下面的完全可信性条件(standard for full credibility)，它定量地描述?x????是如何充分地小的。

定义5.1.1 (完全可信性条件)当样本容量n足够大，以至于x至少有1??的概率水平在

????之间，即

?x????P??????1?? (5.1.1) ???则称n满足完全可信性条件。其中?和?预先给定。可根据实际情况和人们的经验给定?和

?的值，他们都取比较小的值。

设风险X的方差为Var[X]??2。则由中心极限定理知，n?x????的渐近分布为标准正态分布N?0,1?。据(5.1.1)式，我们有

P?n?x?????n????1??

?所以n????U1??2，其中U1??2是标准正态分布N?0,1?的1??2分位点。从而，完全可信性条件(5.1.1)式简化为

???Var[X]? (5.1.2) n??0???0???2?E[X]???其中?0?U1??2?2??2。

例5.1.1 (Poisson分布) 假设X代表索赔次数，且服从Poisson分布：P???。则有

E[X]?Var[X]??。若取??0.10和??0.05，那么U1??2?U0.95?1.645，?0??1.6450.05?2?1082.41。由完全可信性条件(5.1.2)式，我们有

n??0?1082.41 ?0?2???E[X]?Var[X]即n??1082.41。?通常用样本均值x来估计。所以在?未知时，如果

nx?x1???xn?1082.41，我们认为完全可信性条件成立。

5.1.2 部分可信性

当样本容量n不足够大，完全可信性条件不满足时，就无法利用完全可信性理论，将下一期保费厘定为历史经验数据的平均x。为解决这一问题，人们提出了部分可信性(partial credibility)理论，认为可以将下一期保费定价为x与M的加权平均P??1?z?M?zx，其中M是人们根据实践经验，通过合理的推测和判断得到的下一期保费的定价，z称为信度因子(credibility factor)，他表示x在保费P中的权重。信度因子z的值在0和1之间。Z的大小表示x在保费厘定中的可信性程度。

样本容量n不足够大，以至于完全可信性条件(5.1.1)式不成立。这意味着

P??x????????1??。显然，概率P?z?x???????的值随着z的减少而增加。部分

可信性理论取信度因子z使得Pz?x??????正好等于1??，即

???x?????1?? P?z???????从而有

P?n?x?????n???z???1??

?利用中心极限定理，求得信度因子

z?n???U1??2?2??n??0?? (5.1.3)

?若记n0??0????，则由(5.1.2)式知道，完全可信性条件成立时，样本容量至少为n0。(5.1.3)式告诉我们，信度因子z?nn0，它是样本容量n和完全可信性条件成立时最少的

样本容量n0的比值的平方根。z随着n的增大而增大。这表明n越大，承保人越能依靠前n期历史经验数据预测下一期保费。当n?n0时，完全可信性条件成立，我们取信度因子

z?1。综上所述，部分可信性理论取信度因子z为

????n????n???E[X]z?min?,1??min?,1??min?????n0?????0???Var[X]n??,1? (5.1.4) ?0??在推出一个新的险种，或者没有历史经验数据的时候，人们只得参考其他相类似的险种，或其他地区的经验，通过合理的推测和判断给出定价。这时取信度因子z = 0，保费P = M。

例5.1.2 假设某一险种，根据人们先前的经验，给出的定价M = 10,000(元)。完全可信性条件成立时，样本容量至少为n0?175。现有100历史经验数据，它们的均值x?12,500。则信度因子z?min100175,1?0.756，保费

??P??1?0.756??10.000?0.756?12,500?11,890

§5.2 风险的异质性

有限扰动信度理论假设历史经验数据的误差纯粹是由随机性引起的。而实际情况有可能不是这样的。历史经验数据的误差除了由随机性引起外，还有可能与某些因素有关。例如,投保载人轿车险的轿车，其品牌和款式不全相同。不同品牌和款式轿车，其历史经验数据的差别比较大。载人轿车险的历史经验数据的误差除了由随机性引起外，还与轿车的品牌和款式有关。载人轿车险的风险非同质。 5.2.1 风险的异质性

首先让我们看一个例子。

例5.2.1我国某家保险公司1996年的35,072辆投保车辆的索赔次数的统计结果见下表：

索赔次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 车辆数 27,141 5,789 1,443 457 155 56 27 2 1 1 0 35,072 表5.2.1

通常假设索赔次数X的分布为Poisson分布P???，索赔次数为k的概率等于

?10 总数 ?k??P?X?k??e,k?0,1,2,? (5.2.1)

k!?的大小反映了保单持有人的风险状况。风险状况越差，?的值越大。有限扰动信度理论假

设，35,072辆投保机动车的风险状况是一样的，有相同的?。这也就是假设，这些观察数据同分布，他们是来自于Poisson分布P???的样本。经计算得到，样本均值x为

x?5,789?2?1,443?3?457???0.3176

35,072??0.3176。所以在35,072辆投保机动车中，索赔次数为k的拟合频数由此得?的估计值?为

?0.3176k??0.3176?e35,072?,k?0,1,2,?

?k!???实际观测频数和拟合频数的拟合情况见下表

索赔次数 观察频数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ 总数 27,141 5,789 1,443 457 155 56 27 2 1 1 0 35,072 车辆数 拟合频数 25528.69 8107.91 1287.54 136.31 10.82 0.69 0.04 0 0 0 0 35,072 拟合的情况不是很好，尾部(索赔次数比较大)的拟合情况更差。其原因就在于，35,072 辆投保机动车的风险状况实际上并不完全一样。这些机动车辆的品牌和款式很可能不全相同。由于风险具有异质性(heterogeneity)，我们不能假设这些观察数据同分布。他们来自于不同的Poisson分布。

首先考虑最简单的情况，假设这些观察数据来自于两个不同的Poisson分布P??1?和

P??2?的混合，其中来自于P??1?的比例为p，来自于P??2?的比例为1?p，?1??2。通

??0.1719，??0.8876，?过计算(计算从略)算得，p，?1和?2的估计值分别为p1??1.4694。在35,072辆投保机动车中，有35,072?0.8876?31,130辆来自于?2)?3,942辆来自于P?1.4694?，，他们的风险状况较好；有35,072?(1?0.8876P?0.171?9他们的风险状况较差。在35,072辆投保机动车中索赔次数为k的拟合频数为

?0.1719k??0.1719?1.4694k??1.4694?e?e31,130??3,942?， k?0,1,2,?

?k!??k!?????实际观测频数和拟合频数的拟合情况见下表

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库第五章信度理论1在线全文阅读。