高中数学疑难问题研讨：第一讲 三角形“四心”的向量及其应用
第一讲 三角形“四心”的向量性质及其应用
知识点总结
一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）
uuruuuruuur1）、已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GA?GB?GC?0．则G是
△ABC的重心．
2）、点O是三角形ABC的重心则S?AOB = S?BOC = S?COA
????????????例1：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证:AD?BE?CF?0．
解：因为D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点，故有
????1????????????1????????????1????????CF?CA?CB，BE?BA?BC，AD?AB?AC，
222????????????1?????????????????????????所以AD?BE?CF?AB?AC?BA?BC?CA?CB?0
2????????
变式：平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，
????1????????????????求证:PO?(PA?PB?PC?PD)．
4?????????????????解：因为O为平行四边形ABCD的中心，故有OA?OC?OB?OD?0， ????????????????????????????????所以PA?PO?PC?PO?PB?PO?PD?PO?0 ?
????1????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)
4
二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)
?????????????1).已知O是△ABC内一点，满足OA?OB?OC，则点O为△ABC的外心。
?????????????OA?OB，例2、△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA?4OB?5OC?0，求：
OB?OC，OC?OA。
?????????????????????????解：由3OA?4OB?5OC?0，得3OA?4OB??5OC，两边平方得
1
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????????????????9?24OA?OB?16?25?OA?OB?0；
同理可得OB?OC=?43，OC?OA=? 55
例3、已知△ABC内接于?O,AB?AC,D为AB的中点，E为△ACD的重心，求证： OE⊥CD。
??????????解：设AB?a,AC?b，并取这两个向量作为一组基底。
又题意知，要证
????????????????????OE⊥CD，即证OE?CD?0，OE?AE?AO，
?????????????1??????????????1?????????????????????1???????? CD?AD?AC?AB?AC，所以OE?CD?AE?AB?AC??AO?AB?AC?，
2?2??2??????1?????????1?1??????????1?????????1?1?2?2?AE?AB?AC???AB?AC??AB?AC???a?b?，
?2?3?2??2?3?4??????1?????????1????????????????1????21????21?21?2AO?AB?AC?= AO?AB?AO?AC?AB?AC?a?b，
4242?2?2????????1?1?2?2??1?21?2?1?21?2所以OE?CD??a?b???a?b???a?b?0，证毕。
3?42?66??4
三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）
已知G是△ABC内一点，满足GA?GB?GA?GC?GB?GC，则点G为垂心。 例4、：若H为△ABC所在平面内一点，且HA?BC?HB?CA?HC?AB
则点H是△ABC的垂心。 解：由
2222222222HA?BC?HB?CA????2????2????2????2?????????????????????????????????HA?HB?BC?CA?HA?HBHA?HB?BC?CABC?CA=
???????????????????????????????????????????????BA?HA?HB??BA?BC?CA??BA?2HC?0，即HC?AB；
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?
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????????同理可得HA?BC，所以点H是△ABC的垂心。
例5、（05年全国卷Ⅰ理）?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = 1 ；
四、三角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）
O是内心?ABC的充要条件是
AB AC BA BC CA CB ? ? ? OA ? ( ) ? OB ? ( ) ? OC ? ( ) ? 0 | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |
例6、：如果记∠A、∠B、∠C的对边为a,b,c，则O是?ABC内心的充要条件也可以是
aOA?bOB?cOC?0。
?????????????引理：若点O是三角形ABC内一点，则有 S?BOCOA?S?AOCOB?S?AOBOC?0 。
充分性：因为 aOA?bOB?cOC?0 ，且由引理可知，
S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c，故点O到三边的距离相等，所以O是?ABC内心。
必要性：因为O是?ABC内心，所以点O到三边的距离相等，所以有
S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c，结合引理所以aOA?bOB?cOC?0。
综合练习题：
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1、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA+PB+PC取得最大值和最小值。
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2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
uuuruuuruuuruurABAC,则动点P的轨迹一定通过△ABC的OP?OA??(uu?uuu),??(0,??)urrABcosBACcosCuuuruuuruuuruurABAC变形：（1）OP?OA??(uu?uuu),??(0,??) urrABsinBACsinC
（ ） A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuuruurABAC（2）OP?OA??(uuursinC?uuursinB),??(0,??)
ABACuuuruuuruuruuurABAC（3）PB??PC??(uu?uuu),??(0,??) urrABcosBACcosC→→→→1ABACABAC→→→
3、（06陕西理） 已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则
→→→→|AB||AC||AB||AC|2△ABC为 ( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
4、在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
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课堂讲义：
第一讲 三角形“四心”的向量性质及其应用
知识点总结
一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）
uuruuuruuur1）、已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GA?GB?GC?0．则G是
△ABC的重心．
2）、点O是三角形ABC的重心则S?AOB = S?BOC = S?COA
????????????例1：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证:AD?BE?CF?0．
变式：平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，
uuur1uuruuruuuruuur求证:PO?(PA?PB?PC?PD)．
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二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)
uuuruuuruuur1).已知O是△ABC内一点，满足OA?OB?OC，则点O为△ABC的外心。
uuuruuuruuurrOA?OB，例2、△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA?4OB?5OC?0，求：
OB?OC，OC?OA。
例3、已知△ABC内接于eO,AB?AC,D为AB的中点，E为△ACD的重心，求证： OE⊥CD。
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