江彦辰41460008简单矩阵方程的求解

2014级理科实验班高等代数与解析几何课程论文

简单矩阵方程的求解

江彦辰

北京科技大学数理学院 100083

摘要：求解矩阵方程是高等代数学习过程中一种常见题型，本文分析几种简单矩阵方程特点，给出其解题思路和一般解法。

关键词：矩阵；矩阵方程；矩阵的逆；线性变换

1 引言

矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。因为矩阵乘法具有不可交换的特点，且不存在相应的矩阵除法，使得矩阵乘法的求解问题变得不同于一般方程。常见的矩阵方程有如下形式：AX?B,XA?B,AXB?C,在对其进行求解的过程中常涉及对矩阵求逆的运算，并且分辨左乘和右乘的区别。

2 预备知识

1. 设A为数域K上的n阶方阵，若存在数域K上的n阶方阵B，使得AB?BA?I,则

称B为A的逆矩阵，（或A的逆），记B?A。

2. 设A，B是数域K上两个n阶矩阵，则AB?AB即同阶矩阵乘积的行列式等于他们因子的行列式的乘积。

3. 可逆矩阵A可以写成一系列初等矩阵的乘积。 4. 初等矩阵可逆

?13矩阵方程的一般求解方法

在本章中，不强调的情况下，我们只讨论A，均为可逆矩阵的情况。 3.1 AX=B型方程的求解

正常情况下，我们采用以下方法对该方程进行求解：

因为A为可逆矩阵，所以存在A使得AA?I，在方程两边同时左乘A，得到

-1-1-1A-1AX?A-1B即X?A-1B，进而将矩阵方程转化为矩阵求逆和矩阵乘法的问题。

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?123??25?????例1：221X?31 ???????343???43???1?123??????3?1 解：先求出A，则221?2???1??343????123??25??1???31????3 X?221?????2??343????43????1

-1?1?2?5??3,则

2?1?1??3?2??25??32?5??????2?3? ?331???2??3?1?1??43????1???3根据预备知识3，我们得知可逆矩阵A可以写成一系列初等矩阵的乘积，也就是说，

可以将方程AX?B视为矩阵X经过一系列初等变换后化为B矩阵，那么就可以将矩阵B施以相应的逆变换从而转换为A，这与利用线性变换求矩阵的逆的方法具有相同的原理。以下简单阐述这一方法

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵

用

P1,P2?,PS使

p1p2?ps?A?I

A?1右乘上式两端，得：

p1p2?ps?A?1

比较两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A。

-1用矩阵表示A┆I?????I┆A这是求逆矩阵的初等行变换法，或者

?1??初等行变化???A??I???列初等变换????????????? ?I??A?1?????这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换。同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵。

类似地，若存在P1P2?PSA?I，则可在方程两边同时左乘P1P2?PS，使方程转化为X?P1P2?PSB我们不妨这样理解这个等式，即对B施以将A化为单位矩阵的线

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性变换后，可将B化为所求的X矩阵。借鉴上文矩阵求逆的方法，我们可以进行如下

?A??I???初等列变换??初等行变化操作???????????或?A┆B???????I┆X?，因线性变换遵循“左行

?B??X?????右列”的原则，所以在此采用进行初等行变换的方法。

?11-1??2?????例3.1求解矩阵方程?-211?X??3?

?111??6??????11-1??2?????设?-211??A，?3??B ?111??6??????11-1?100┆2??11-1┆2?┆1???????3?=?03-1┆7?=??=?010┆3?=?I┆X? ?A┆B?=?-211┆?111┆??0016?4?┆2????002┆????1???所以X??3?

?2???3.2 XA=B型方程的求解

同样地，因为A为可逆矩阵，所以存在A使得AA?I，在方程两边同时右乘A，得到X?BA，在此不进行详细的举例。

同时我们同样可以运用线性变换的方法对其进行求解。已知A?P1P2?PS，则可在

-1-1-1-1方程两边同时右乘PSPS-1?P1-1，据此可对B进行如下线性变PS-1?P1-1，于是有X?BPS-1-1-1-1?A??I???初等列变换??换??????????? ?B??X?????3.3 AXB=C型方程的求解

因为A，B均可逆，所以可在方程两端分别同时左，右乘A-1和B-1，即有X?A-1CB-1

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?123??25?52???X?31?

221? 例3：????31????????343???43??

?1?123??????3?1 解：先求出A，则221?2???1??343????1?1?2?5??3,

2?1?1??3?52???12??31???3?5?则 ?????123??? X?221?????343???1?1?25??1?31??52????3?2???31????1??43????2??25???12?5????331??? 3?52??????431?1????32??4??3?3????13????711?

??2?3???3?5???????3??1??8?13?? 可以看到在求解过程中运算量巨大，所以试图通过线性变换的方法进行求解。存在

-1-1-1，右乘A?P11P12?P1S，B?P21P22??P2T，对方程两边同时左乘P1SP1S-1?P11-1-1-1-1-1-1-1-1-1，得IXI?PP2TP2T-1?P211SP1S-1?P11CP2TP2T-1?P21。可以看出，C先经过一系列初等行

变换，在经过一系列初等列变换后可变换成为所求的X，所以不妨仿照上文所述求解办法，

对C进行初等变换，下面据此提出例3.2的另一种解法。

?123??25??123????52???31?，设?221??A，?52?例3：221X??31??B??31????????43??????343?????343???25??31??C ????43???AC?初等行变换?IA-1C??AC??，再进行初等构造矩阵??OB??，先进行初等行变换??OB?????????OB????????AC?初等行变换?IA-1C?初等列变换?IA-1CB-1??IX????????????列变换，? ?OB???????????O???B?I??OI?????O所得X即为所求

可以想见，简单的一次矩阵方程都可以由3.1，3.2，3.3形式的矩阵方程表示而成，在此提出猜想，所有的一次矩阵方程都可以通过线性变换的方法进行求解。该结论有待证明。

3.4矩阵方程在A不可逆时的求解

以上结论的理论基础均为A（或者B）为可逆矩阵，如果A不为可逆矩阵，则意味着无

法通过简单的初等线性变换将A转化为单位矩阵，此时，如果该矩阵方程有解，则只能将X

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矩阵中每一个元素写成未知数，然后构造方程组进行求解，这也提醒我们，在对矩阵方程进行求解时第一步工作应为判断矩阵是否可逆。

例5：解矩阵方程??1?10??25? X?????201??14? 解：利用元素法，先确定X的行数等于左边矩阵的行数3,X的列数等于积矩阵的列数

2，则X是3?2的矩阵。

?x? 设X?x1???x2?x?x1?2x?x1y??x?1?10??y2?，则???x1?201???xy2???2y??25?y1????14?

??y2?? 即??x?x1?2?y?y?5y?y1??25??1?，于是得方程组 ????2y?y2??14??2x?x2?1??2y?y2?4?x1?x?2y??x?y?y?5?1??，其中x,y为任意实数。

y?5解得?，所以X?x?2???x2?1?2x??1?2x4?2y???y?4?2y?2

4 结语

本文将矩阵方程与矩阵求逆进行结合，用线性变换的方法对矩阵方程进行求解，达到了降

低运算量的目的。

总之，对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，或者通过构造矩阵进行初等变换的方法进行求解；如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵。

5 致谢

感谢廖福成老师长久以来对高等代数学习方面进行的悉心指导。

参考文献

[1] ]高等代数与解析几何 易忠

[2] 初等变换的关系与可逆矩阵的分解 张新发

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[3] 高等代数题解精粹 钱吉林 [4] 高等代数习题解 杨子胥

[5] 逆矩阵的小解及其应用 西北师范大学 数学与统计学院 09级7班 甘肃 兰州 730070 [6] 可逆矩阵的求法 闫建坤 北京科技大学数理学院 北京 100083

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