不定积分的基本解法

不定积分的基本解法

摘 要 不定积分是考试中常考的内容之一，是学习以后知识和其他课程的基础，牢固掌握不定积分的基本解法是必要的。

关键词 不定积分 直接积分 换元积分 分部积分 引 言 不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分的概念，而且也将为学习定积分打好基础，因此切实掌握求不定积分的基本解法非常重要。

1． 直接积分法

（1）若?M(x)N(x)dx，其中M（x）N（x）是x的一些幂代数和，这种类型的积分，首先将M(x)N(x)作积化为x的某些幂的代数和，然后再积分。

例

2(2x?5)(x2?x??5d)x??3(x4?31x2?x?5d5x) 2=x4?4x3?52x?25x?C 2 （2）拆（添）项法，化为一个有理分式的积分为简单的积分。

2x2?1x2?1?x2x2?1x2dx??22dx=?[22?]dx 例 ?22x(x?1)x(x?1)x(x?1)x2(x2?1) =(?111=?)dx??arctanx?C 22xx?1x（3）三角函数变形法，主要用的三角函数公式有：

sin2x?cos2x?1，tan2x?sec2x?1，cot2x?csc2x?1，sin2x?2sinxcosx，

cos2x?cos2x?sin2x?2cos2x?1?1?2sin2x

2. 换元积分法

2.1 湊微法

设函数u?????在所考虑区间内是可微的，且知dF(u)=f(u)d(u),则有

?f[????]?'(x)dx??f[?(x)]d?????F[?(x)]?C

2)?2(?1xd)x(1?x)dx?例 d(x?2x，则

1d(2x?x2) 23223111(2x?x)2222故?(x?1)2x?xdx??2x?xd(2x?x)==(2x?x)?C

1322?122湊微法常用以下公式:

dx?

11111dx?2d(x),sinxdx??dcosx d(ax?b),xdx?dx2,2dx??d(),a2xxx

cosxdx?dsinx,exdx?dex,2.2 代入法

11?x2dx?darcsinx,1dx?darctanx 21?x 设函数f(x)连续，x??(t)具有连续的导数，且?'(x)?0，如果已知

t???t???????f?'d?t?G??t'?1C?f?x?dx??f?,则有 ???t?????t?dt?G????x????C，

其中??1?x?是x???t?的反函数。

常用的几种代换：（1）简单的根式变换

22 (2)三角代换 例?R(x,a?x)dx令x?asint或x?acost 22 （3）双曲代换 例?a?xdx令x?asht

（4）?R(sinx,cosx)dx一般采用万能代换：设tanx?t，则 22t1?t2 sinx?,coxs?21?t1?t23.分部积分法：?udu?uv??vdu

例

2t,txa?n2

1?t?secxdx??secxdtgx?secxtgx??tgxsecxtgxdx=secxtgx??secx(sec =secxtgx??sec3xdx??secxdx

32x?1)dx

? 移项 2?se3cxdx 所以

sexct?gx?2sec xdxx)dsin?x2?(x2?x)cosxd?x?(x?(?xx)s?x?in?sixn 2??xd1xx? ?(x2?x)sin??2x? ?(x?x)sin?2x??1dc oxs2x??1coxs?2sxi? nC2x? ?(x?x?2)sin?x2?os? C?1cx 例

cos2x?cosx?sinxdx

解：被积函数有不同的三角函数sinx,cosx,cos2x，可利用倍角公式化为

cos2xcos2x?sin2x?cosx?sinxdx??cosx?sinxdx???cosx?sinx?dx?sinx?cosx?c 1? 例 ??x???xd x?x?解：被积函数中的根式和分式均可化为幂函数，从而可得

1???31??x??xdx???x2?x2?dx???x????13?12x2?3?11125?1?1222x?c?x?2x?c 1?2?15附：

不定积分的基本公式如下：

1.?0dx?c2.?1dx?x?cx??13.?xdx?????1,x?0???114.?dx?Lnx?c?x?0?x?5.?exdx?ex?cax6.?adx??c?a?0,a?1?Lna17.?cosaxdx?sinax?c?a?0?a18.?sinaxdx??cosax?c?a?0?ax9.?sec2xdx?tanx?c10.?csc2xdx??cotx?c11.?secx?tanxdx?secx?c12.?cscx?cotxdx??cscx?c13.?dx1?xdx1?x2

2?arcsinx?c??arccosx?c1 14.?

?arctanx?c??arccotx?c1

参考文献 【1】华东师范大学数学系 编 数学分析 第四版上册 【2】浙江大学出版社 微积分学上册

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库不定积分的基本解法在线全文阅读。