习 题 八
1．设X1,X2,?,Xn是从总体X中抽出的样本，假设X服从参数为?的指数分布，?未知，给定?0?0和显著性水平?(0???1)，试求假设
H0:???0的?2检验统计量及否定域.
解 H0:???0 选统计量 记
??2?0?Xi?2?0nX
2i?1n??2? ?2?Xi?1ni
2?2~?2(2n)，对于给定的显著性水平?，查?2分布表求出临界值??则?(2n)，
使
2?2??? P(?(2n))??
22?2??2，所以(??2???因 ?(2n))?(?2???(2n))，从而
22?2?????P{?(2n)}?P{?2???(2n)}
2可见H0:???0的否定域为?2???(2n).
2．某种零件的尺寸方差为?2?1.21，对一批这类零件检查6件得尺寸数
据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（??0.05）. 解 问题是在?已知的条件下检验假设H0:??32.50 H0的否定域为|u|?u?/2 其中
2
u0.02529.46?32.50?2.45??6.77
?1.11.96，所以否定H0，即不能认为平均尺寸是32.5?1.96，因|u|?6.77?u?n?X?32.50毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为??100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平??0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值?不低于1600。
解 问题是在?已知的条件下检验假设H0:??1600 H0的否定域为u??u?/2，其中
· ·110
2
X?16001580?160026??5.1??1.02.
100100 ?u0.05??1.6. 4 u? 因为u??1.02??1.64??u0.05，所以接受H0，即可以认为这批产品的指标的期望值?不低于1600.
4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为??100小时的正态分布，问这批元件是否合格？（??0.05）
2 解 设元件寿命为X，则X~N(?,100，)问题是检验假设
H0:??1000. H0的否定域为u??u0.05，其中
X?1000950?100025??5??2.5 u??100 u0.05?1.64
因为
u??2.5??1.64?u0.05 所以否定H0，即元件不合格.
5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为X(%)： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24
设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(??0.01)？ 解 问题是在?未知的条件下检验假设H0:??3.25 H0的否定域为 |t|?t?/2(4)
2152 X?3.252,S?(?Xi?5?X)?0.00017,4i?1 t0.005(4)?4.6041
2S?0.013
t?因为
X?3.253.252?3.255??2.24?0.345
S0.013 |t|?0.345?4.6041?t0.005(4)
所以接受H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.
6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,9.9. 9.1,71,090.5
·111·
问该日打包机工作是否正常（??0.05；已知包重服从正态分布）？
198S?(?(Xi?X)2)?1.47，S?1.21， 解 X?99.9，
8i?1 问题是检验假设H0:??100
2 H0的否定域为|t|?t?/2(8). 其中
X?10099.98?1009??3??0.05
S1.21 t0.025(8)?2.306
t?因为
|t|?0.05?2.306?t0.025(8) 所以接受H0，即该日打包机工作正常.
7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量（单位：毫克）如下
22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.
已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
(??0.025)
解 设X为维生素C的含量，则X~N(?,?2)，X?20,S2?419.625，S?20.485，n?17. 问题是检验假设H0:??21.
（1）H0:??21.
（2）选择统计量t并计算其值：
X?2120?21n?17??0.20 S20.485 （3）对于给定的??0.025查t分布表求出临界值t?(n)?t0.025(16)?2.2.
t? （4）因为?t0.025(16)??2.20??0.20?t。所以接受H0，即认为维生素含量合格.
8．某种合金弦的抗拉强度X~N(?,下：
10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.
· ·112
由过去的经验知??10560（公?2)，
斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如
问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（??0.05）
4 解 X?10631.，S2?6558.89，S?80.99，n?10. 问题是检验假设
H0:??10560
（1）H0:??10560. （2）选统计量并计算其值.
X?1056010631.4?10560n?10
S80.99 ?2.772
（3）对于??0.05，查t分布表，得临界值t?(9)?t0.05(9)?1.833.
t? （4）因t0.05(9)?1.833?2.772?t，故否定H0即认为抗拉强度提高了。 9．从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S?0.025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的?2?0.0004有无显著差别？（??0.05，椭圆度服从正态分布）。
解 S?0.025S,2?0.000n6?5,，问题是检验假设15H0:?2?0.0004.
2 （1）H0:?2??0?0.0004.
（2）选统计量?2并计算其值
??2(n?1)S22?0?14?0.00065?22.75
0.0004 （3）对于给定的??0.05，查?2分布表得临界值
2222 ??/2(14)??0.025(14)?26.119,?1??/2(14)??0.975(14)?5.629. 22 （4）因为?0.975?5.629?22.75??2??0.025?26.119所以接受H0，即总
体方差与规定的?2?0.0004无显著差异。
10．从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.
问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（??0.05，熔化时间服从正态分布）.
2 解 X?62.4，S?121.82,n?10, 问题是检验假设H0:?2?80.
2 （1）H0:?2?80??0；
（2）选统计量?并计算其值
29?121.82?13.705 2?0802 （3）对于给定的??0.05，查?分布表得临界值
??2(n?1)S2? ·113·
22??(n?1)??0.05(9)?16.919.
2 （4）因?2?13.705?16.919??0.05，故接受H0，即可以认为方差不大于
80。
11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125；
第二种 134，137，135，140，130，134.
问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(??0.05)
解 设第一、二种织品的强度分别为X和Y，则X~N(?1, ?2),Y~N(?2,?2)
X?131,S12?36.667,n1?4
2 Y?135,S2?35.2,n2?6 问题是检验假设H0:?1??2
（1）H0:?1??2
X?Yn1n2?n1?n2131?1354?6 ?3?36.667?5?35.24?64?6?2 （2）选统计量T并计算其值. T?2(n1?1)S12?(n2?1)S2n1?n2?2 ??1.29 5 （3）对于给定的??0.05，查t分布表得临界值t?/2(n1?n2?2)
?t0.025(8)?2.3069.
（4）因为|t|?1.295?2.3069?t0.025(8)，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。
12．在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为
旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;
设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（??0.01）
解 设X为新品种产量，Y为旧品种产量；X~N(?1, · ·114
?2)，
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