数学概率多种分布的可加性原理

数学概率多种分布的可加性

1、0-1分布

作为离散变量，0-1分布的变量取值范围是0,1，两个0-1分布相加后取值范围变为0、1、2，显然与原来不一样，所以不满足可加性。

2、二项分布b（n，p）

设X~b?n,p?，Y~b?m,p?，且X，Y相互独立，令Z=X+Y。由卷积公式，

P?Z?k???P(X?i)P(Y?k?i)。因为可能性的缘故，i<=n，k-i<=m，因此

i?0ka?max{0,k?m},b?min{n,k}。则

P?Z?k???P(X?i)P(Y?k?i)?p(1?p)ki?abm?n?k?CCini?abmk?i，

?CCini?abmk?ik?Cm?n，

kkm?n?k。因此，二项分布有可加性。 ?P?Z?k??Cm?np(1?p)3、 负二项分布

设X、Y为满足系数为m、n的负二项分布且独立，令Z=X+Y。有卷积公式

P?Z?k???P(X?i)P(Y?k?i)，由于可能性，m<=i<=k-n，则

i?0bkP?Z?k???P(X?i)P(Y?k?i)?p(1?p)ki?ak?m?n?Ci?mk?nm?1i?1?1Ckn?1?i，

?Ci?mk?nm?1i?1?1m?n?1?n?1kCkn?，?P?Z?k??Ckmp(1?p)k?m?n。因此，负二项分布有1?i?Ck?1?1可加性。

4、几何分布

变量的取值范围相加后不再是1、2、3……而是2、3……，所以不再是几何分布，没有可加性。 5、均匀分布

设X，Y满足均匀分布X对应a1、a2，Y对应b1、b2，且相互独立。令Z=X+Y，则a1+a2<=z<=b1+b2.卷积公式

??PZ(z)????P(z?y)P(y)dy，a?max{z?b,a},b?min(b,z?a)

XY1221??则PZ(z)????PX(z?y)PY(y)dy?b?a。因此，均匀分布没有可加性。

(b1?a1)(b2?a2)6、指数分布

设Ｘ、Ｙ分别满足参数为?和?的指数分布且相互独立，令Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，由卷积

????XY公式得PZ(z)????P(z?y)P(y)dy????exp{??z?(???)y}dy，这里根据???0的符号不同有多种结果。因此指数分布不满足可加性。 ７、?2分布

设Ｘ、Ｙ分别满足参数为ｍ和ｎ的?2分布且相互独立，令Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，由卷积公式

??PZ(z)????P(z?y)P(y)dy?XY1?(m/2)?(n/2)2m?n2e?z/2?z0(z?y)m/2?1yn/2?1dy?n)/2?1z(m?1?((m?n)/2)2m?n2e?z/2

（

?z0(z?y)m/2?1yn/2?1dy??(m/2)?(n/2)(m?n)/2?1） z?((m?n)/2)因此，有可加性。 ８、贝塔分布

因为取Ｚ＝Ｘ＋Ｙ之后，变量的取值范围发生改变，不再是０到１，所以没有可加性。

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