2013年高考数学全国卷1（完整试题+答案+解析）

2013年理科数学（全国卷）

样本数据x1,x2,?xn的标准差

(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2s?n球的面积公式

其中x为样本平均数

S?4?R2

1.复数

1?2i（i是虚数单位）的虚部是 1?iA．

31 B． C．3 D．1 222.已知R是实数集，M??x B．?0,2?

?2??1?,N?yy?x?1?1，则N?CRM? ?x? C.? D．?1,2?

??A．(1,2)

3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A．1 B．2 C．3 D．4 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0则

，

S4? S2A．5 B．8 C．?8 D．15 5.已知函数f(x)?sin(2x?的值是 A．

?6)，若存在a?(0,?)，使得f(x?a)?f(x?a)恒成立，则a???? B． C． D． 63426.已知m、n表示直线，?,?,?表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）????m,n??,n?m,则??? （2）???,????m,????n,则n?m （3）m??,m??,则?∥? （4）m??,n??,m?n,则??? A．（1）、（2）

B．（3）、（4）

C．（2）、（3）

D．（2）、（4）

- 1 -

7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若OA?3OB?2OC,则|AB||BC|等于

A．1 B．2 C．3 D．4 8.已知三角形?ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为角形的周长是

A．18 B．21 C．24 D．15 9.函数f(x)?lgx?3，则这个三21的零点所在的区间是 x,??) A．?0,1? B．?1,10? C．?10,100? D．(1002210.过直线y?x上一点P引圆x?y?6x?7?0的切线，则切线长的最小值为

A．

23210 B． C． D．2

22211.已知函数f(x)?x2?ax?2b.若a,b都是区间?0,4?内的数，则使f(1)?0成立的概率是

3153 B． C． D．

8448x2y2??1，F为其右焦点，A1,A2是实轴的两端点，设P 为12.已知双曲线的标准方程为

916A．

双曲线上不同于A1,A2的任意一点，直线A1P,A2P与直线x?a分别交于两点M,N,若

FM?FN?0,则a的值为

A．

9251616 B． C． D．

5995开始 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.

14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.

1 1 第14题图

1 a?2,i?1 i?10 是 否 顶

输出 a a?1 1?ai?i?1 结束 第13题图

- 2 -

15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R?2(lgE?11.4)．2011年3月11日，日3本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知a,b都是正数，且,ma?1a?，则a?b； b?1b②已知f?(x)是f(x)的导函数，若?x?R,f?(x)?0，则f(1)?f(2)一定成立； ③命题“?x?R，使得x?2x?1?0”的否定是真命题； ④“x?1,且y?1”是“x?y?2”的充要条件.

其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

?xxx已知向量a?(1,cos)与b?(3sin?cos,y)共线，且有函数y?f(x)．

2222??2x)的值； （Ⅰ）若f(x)?1，求cos(3?2（Ⅱ）在?ABC中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c，且满足2acosC?c?2b，求函数

f(B)的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知等差数列?an?的前n项和为Sn，公差d?0,且S3?S5?50,a1,a4,a13成等比数列． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

?bn?（Ⅱ）设??是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的前n项和Tn.

?an?19.（本小题满分12分）

BECD?2，CD?面ABC，已知四棱锥A?BCDE，其中AB?BC?AC?BE?1，

∥CD，F为AD的中点. （Ⅰ）求证：EF∥面ABC； （Ⅱ）求证：面ADE?面ACD；

E

- 3 -

D

F C

BA （III）求四棱锥A?BCDE的体积.

20.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

时间x（秒） 深度y（微米） 5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；

（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方程

??y4139x?，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差1326均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?b在点(?1,f(?1))的切线方程为x?y?3?0. x2?1（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设g(x)?lnx，求证：g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立.

22.（本小题满分14分）

O，对实轴长为43的椭圆的中心在原点，其焦点F1,,F2在x轴上.抛物线的顶点在原点

3称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1?AF2，△AF1F2的面积为.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若AC?2AB,求直线l的斜率k.

y

A - 4 - F1 C B o F2 x

参考答案及评分标准

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

B D B A D B B D B C C B

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

19? 15. 102 16. ①③ 13．2 14.3三．解答题

17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵a与b共线

??3∴

1?xx3sin?cos22cosyx2

xxx31?1y?3sincos?cos2?sinx?(1?cosx)?sin(x?)?????3分

2222262∴f(x)?sin(x?1?1?1，即sin(x?)? ????????????????4分

62622????1cos(?2x)?cos2(?x)?2cos2(?x)?1?2sin2(x?)?1??

33362)?? ????????????????6分 （Ⅱ）已知2acosC?c?2b

由正弦定理得：

2sinAcosC?sinC?2sinB?2sin(A?C)2sinAcosC?sinC?2sinAcosC?2cosAsinC∴cosA?

?1，∴在?ABC中 ∠A? ????????????????8分

32?1f(B)?sin(B?)?

62- 5 -

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