华杯赛集训试题精选及详解全(4)

华杯赛集训试题精选及详解 刘强老师资料

12、某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是A～K。这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。某日，老师问：“11个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：

A说：“有10个人。” B说：“有7个人。” C说：“有11个人。” D说：“有3个人。” E说：“有6个人。” F说：“有10个人。” G说：“有5个人。” H说：“有6个人。” I说：“有4个人。”

那么，这个俱乐部的11个成员中，总说谎话的有几个人？

分析与解答：

因为9个人回答出了7种不同的人数，而且回答相同的最多是两个人。所以说谎话的不少于7人。若说谎话的有7人，则除B外，其它回答问题的8人均说了谎话，与假设出现矛盾；若说谎话的有8人，则回答问题的9人均说了谎话，出现矛盾；若说谎话的有10人，则只能1人说实话，而A和F都说了实话，出现了矛盾；若说谎话的有11人，则没有说实话的，而C说了实话，出现矛盾；显然说谎话的有9人，回答问题的9人均说谎话，休息的两人说实话。

13、有甲、乙、丙、丁四个人，各对某个两位整数的性质用两句话表述： 甲：“用2除余1”，“用3除余2”。 乙：“用4除余3”，“用5除余4”。 丙：“用6除余5”，“用7除余6”。 丁：“用8除余7”，“用9除余8”。

已知四人中每个人都只说对了一句话，而另一句话是错的。请问这个两位整数是几？ 策略：

通过观察可以发现四个人的第一句话中除数都是偶数，余数都是奇数；而第二句话中除数都是奇数余数都是偶数。解答此题时要分析除数与余数的特点，利用我们所学的整除知识，先假设再排除，通过否定与肯定的层层深入推出正确的结论。 详解：

为了便于说明，将甲的第一句话用甲—①，第二句话用甲—②表示。 （1.）先假设甲—①是错的。

如果甲—①是错的，乙—①所说的整数用4除余3，如果用2除会怎样呢？用4除余3的整数，也可以说成是4的倍数加上余数3 的整数。4是2的倍数，那么能被4整除的数也一定能被2整除，，余数是3，3被2除余1。因此甲—①，乙—①所说的内容相同，

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既他们说的都是错的。用同样的思考方法可以说明丙—①和丁—①也都是错的。这时可以肯定甲—②、

乙—②、丙—②、丁—②、是正确的。

从各句话的除数与余数的关系来看，所有话中的余数都是除数减1，因此满足甲—②、乙—②、丙—②、丁—②条件的整数应该是3、5、7、9的公倍数减1的整数，而这样的整数最小的是314，不符合题目要求。 2. 假设甲—②是错的。

和（1）的思考方法一样，如果甲—②是错的，丙—②、丁—②也是错的。（想一想，为什么？）

那么，考虑一下乙说的话，因为丁—②是错的，所以丁—①是正确的。因此，乙—①也是正确的。

通过以上的分析，可以知道甲—①、乙—①、丙—②、丁—①是正确的。那么符合条件的数应该是2、4、7、8的公被数减1的整数。满足这个条件的2位整数只有55。 探究与总结： 探究：

（1）想一想，为什么从甲的话开始分析？从另外三个人的话开始分析结果会怎样？ （2）如果所求的数在1——200之间那么这个数可能会是多少呢？ 总结：

（1）逻辑推理要求正确的前提，从正确的前提出发才能推出正确的结论。然而有时我们事先并不知道哪一个判断是正确的，这时我们可以采用假设法解答。根据事物之间的相对性，先作一个假设，然后根据条件进行推理。如果得到符合条件的结果，那么这个假设是正确的；若从这个假设出发，推出矛盾，说明这个假设是错误的，可将这种情形排除，这时就需要我们在相反的前提下重新进行推理。

（2）两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的。

4、有一些除法算式，被除数、除数、商都是自然数，它们的和是178，且商和余数相同。写出所有满足条件的除法算式。 分析与解：

1．先由简单情况考虑

（1）当商和余数是１时，被除数-１＝除数、178-2=（被除数-１）+除数

178-2应为（1+1）倍的除数。

（2）当商和余数是2时，被除数-2＝2×除数、178-4=（被除数-2）+除数

178-4应为（2+1）倍的除数。

（3）当商和余数是3时，可以推知，178-6应为（3+1）倍的除数。 ??

2．由上面分析可以推知，178+2应为（商+1）倍的（除数+2） （1）180=1×180 商=0 不符合题意

（2）180=2×90 商=1 除数=88 89÷88=1??1 （3）180=3×60 商=2 除数=58 118÷58=2??2

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（4）180=4×45 商=3 除数=43 132÷43=3??3 （5）180=5×36 商=4 除数=34 140÷34=4??4 （6）180=6×30 商=5 除数=28 145÷28=5??5 （7）180=9×20 商=8 除数=18 152÷18=8??8 （8）180=10×18 商=9 除数=16 153÷16=9??9 （9）180=12×15 商=11 除数=13 154÷13=11??11

（10）180=15×12 商=14 除数=10 因为商=余数>除数，不成立。 在往下考虑，余数都要大于除数，均不成立。

所以符合要求的算式只有上面所列出的八个。

14、有一些除法算式，被除数、除数、商都是自然数，它们的和是Ａ，且算式中的商和余数相同，已知满足条件的算式至少有五个，Ａ可以是（ ），请写出一组符合要求的算式。 分析与解：

1． 先由简单情况考虑，设商和余数分别为1、2、3、4、5。 （1）当商和余数是1时，（□+1）÷□=1??1 （□+1）+□+1=A

A-2应为2倍的除数。

（2）当商和余数是2时，（2□+2）÷□=2??2 （2□+2）+□+2=A

A-4应为3倍的除数。 （3）当商和余数是3时，可以推知，A-6应为4倍的除数。 （4）当商和余数是4时，可以推知，A-8应为5倍的除数。 （5）当商和余数是5时，可以推知，A-10应为6倍的除数。

2．因为A-2是2的倍数；A-4是3的倍数；A-6是4的倍数；A-8是5的倍数；A-10是6的倍数，所以（A+2）应为2、3、4、5、6的公倍数。2、3、4、5、6的公倍数有60、120、180??，A可以是58、118、178??。

当A 是58时，可以写出五个符合要求的算式： ①29÷28=1??1 ②38÷18=2??2 ③42÷13=3??3 ④44÷10=4??4 ⑤45÷8=5??5

说明：这两个问题都是一题多解的开放性式题，它们考察了学生的运算能力以及和倍问题、孙子定理等基本知识的掌握情况，在解答本题时要求学生有很敏捷的观察、归纳、递推的能力，有很强的迁移、转化的数学意识。

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15、某人从住地外出有两种方案：一种是骑自行车去；另一种是乘公共汽车去。显然公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等待时间（候车时间可看作固定不变的）。在任何情况下，他总是采用花时间最少的方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案需要的时间。

为了到达离驻地8千米的地方，他需要花多少分钟？并简述理由。 目的地 A B C 目的地离驻地距离 2千米 3千米 4千米 最佳方案所需时间 12分钟 15．5分钟 18分钟

分析与解：

从A、B两地相差1千米，多用3.5分钟；而B、C两地相差1千米，只多用2.5分钟。可以推出他到较远的C地是乘公共汽车，而到较近的A地是骑自行车。

显然去B地不是骑自行车，因为如果去B地采用骑自行车方案，那么需要时间是（12÷2）×3=18（分钟），而实际最佳方案只需15．5分钟，故到B地是乘公共汽车。

由B、C两地都是乘公共汽车，可知汽车1千米需18－15．5=2．5（分钟），由此可求得候车时间是18－2．5×4=8（分钟）。

故到达离驻地8千米的地方应该用乘公共汽车的方案，需要8＋2．5×8=28（分钟）

7、中、日双方进行围棋擂台赛，双方各出5名超一流棋手，按事先排好的顺序出场比赛。双方先由1号棋手比赛，负者被淘汰，胜者继续与对方2号棋手比赛，??，直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，这样形成一个比赛过程。所有可能出现的比赛过程共有（252）种。

分析：中方和日方获胜所能形成的比赛过程情况是相同的，只需考虑一方。

假设中方获胜，获胜的情况又五大类：

（1）一号棋手结束比赛：连胜五盘，比赛过程只有1种；

（2）二号棋手结束比赛：他胜的场数可能是1、2、3、4、5，比赛过程有

5种；

（3）三号棋手结束比赛：他胜的场数可能是1、2、3、4、5。

若胜1场：另外4场是1号或2号胜的，40、31、22、13、04，有5种比赛过程。

若胜2场：另外3场是1号或2号胜的，30、21、12、03，有4种比赛过程。

若胜3场：另外2场是1号或2号胜的，20、11、02，有3种比赛过程。

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若胜4场：另外1场是1号或2号胜的，10、01，有2种比赛过程。 若胜5场：有1种比赛过程。 此类共有15种比赛过程。

（4）四号棋手结束比赛。他胜的场数可能是1、2、3、4、5。

若胜1场：另外4场是1号或2号或3号胜的，400、310、301、220、 211、202、130、121、112、103、040、031、022、013、 004，有15种比赛过程。

若胜2场：另外3场是1号或2号或3号胜的，300、210、201、120、 111、102、030、021、012、003，有10种比赛过程。 若胜3场：另外2场是1号或2号或3号胜的，200、110、101、020、 011、002，有6种比赛过程。

若胜4场：另外1场是1号或2号或3号胜的，100、010、001，有3种比赛过程。

若胜5场：有1种比赛过程。

此类共有35种比赛过程。

（5）五号棋手结束比赛。他胜的场数可能是1、2、3、4、5。

若胜1场：另外4场是1号或2号或3号或4号胜的，4000、3100、 3010、3001、2200、2110、2101、2020、2011、2002、1300、 1210、1201、1120、1111、1102、1030、1021、1012、1003、 0400、0310、 0301、0220、0211、0202、0130、0121、 0112、0103、0040、0031、0022、0013、0004，共有35种 比赛过程。 若胜2场：另外3场是1号或2号或3号或4号胜的，3000、2100、 2010、2001、1200、1110、1101、1020、1011、1002、0300、 0210、0201、0120、0111、0102、0030、0021、0012、0003， 共有20种比赛过程。 若胜3场：另外2场是1号或2号或3号或4号胜的，2000、1100、 1010、1001、0200、0110、0101、0020、0011、0002， 共有10种比赛过程。

若胜4场：另外1场是1号或2号或3号或4号胜的，1000、0100、 0010、0001，有4种比赛过程。 若胜5场：有1种比赛过程。 此类共有70种比赛过程。

中方获胜共有：1+5+15+35+70=126种比赛过程，日方获胜的比赛过程和中方相同，所以，共有126×2=252种不同的比赛过程。

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