2014秋人教版数学九上《24.1 圆的有关性质》重点复习

知识点一：圆的概念及表示方法（重点）

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

圆具有的特性：

（1） 圆上各点到定点的距离都等于定长

（2） 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 注意：（1）根据圆的概念可以知道“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面。

（2）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

（3）利用圆具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上。 例1：通过下列条件，能确定圆的为（ ）

A、已知点O为圆心 B、点O为圆心，2cm为半径 C、以2cm为半径 D、经过已知点A，且半径为2cm

2：如图，点A 、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,

则下列各式正确的是（ ）

A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. a=b=c

知识点二：圆的有关概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，例：

直径：经过圆心的弦叫做直径，如图“直径AB” 注意：直径是圆中最长弦，但弦不一定是直径

弧、半圆、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如： ；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如： 注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆

等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等

注意：等圆只和半径大小有关，和圆心的位置无关 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 注意：长度相等的弧不一定是等弧 例3：有以下结论：

① 直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等

弧；⑤长度相等的两条弧是等弧

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

点拨：只有在同圆或等圆中才存在等弧，在大小不等的两个圆中不存在等弧。在判断等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，然后再看弧的长度是否相等。 知识点三：圆的对称性

1、 轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

2、 旋转对称性：圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此

圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。

例4：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

① 等边三角形； ②平行四边形； ③等腰梯形； ④圆

知识点三：垂直于弦的直径（重点）

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ① AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

CBAOED例5、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=（ ）。

（6） （5）

例6：如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧 AC的中点，OE交弦AC于D．若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长 为________________．

练习：

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（ ）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C． 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧

3、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

4、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

5、如图，已知在⊙O中，弦AB?CD，且AB?CD，垂足为H，OE?AB于E，OF?CD于F.

（1）求证：四边形OEHF是正方形. （2）若CH?3，DH?9，求圆心O到弦AB和CD的距离.

6、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

7、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是求证：AD=BF.

AEF的中点，AD⊥BC于D，

12 BD

垂径定理典型例题总结

一.选择题 ★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）A．4 B．6 C．7 D．8

★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位

二.填空题

★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于

OC ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米

AOCEBD图 4★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.

★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm ★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ ★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD＝l，则弦AB的长是

★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m

三.解答题

★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长

★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm. 求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小

★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB

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