研究生高等代数复习题(2)

22?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化为标准形48.已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x222f?y12?2y2?5y3，求a的值及所作的正交变换．

49.P3中，线性变换??101???A?110??(0,1,1)??(1,0,?1)??(?1,1,1)关于基1，2，3的矩阵为??

??121???（1）求?关于标准基?1,?2,?3的矩阵；

（2）设???1?6?2??3,???1??2??3,求?(?),?(?)关于基{?1,?2,?3}的坐标. （15分） 50.设?是R3的线性变换,?(x1,x2,x3)?(x1?2x2?x3,x2?x3,x1?x2?2x3) （1）求值域Im(?)的一个基和维数；（2）求核Ker(?)的一个基和维数．

51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；

2222 （2）某四元二次型有标准形2y1?3y2?y3?4y4，求其规范形.

?300???52.设A??0?14?（1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若当标准

??1?13???形.

53.设?1?(1,1,?1,?1),?2?(1,?1,?1,1),?3?(1,?1,1,?1)，

在R4中求与?1,?2,?3同时正交的单位向量（内积按通常的定义）.

AA??A?P54.已知Pn?n的两个子空间V1???证明：Pn?n?n?n???AA???A?P，V2????n?n??， ??V1?V2．

55.求下面矩阵A的列空间在R4中的正交补的一个标准正交基.（15分）

56.设A为n阶方阵，

W1??x?Rn|Ax?0?，W2??x?Rn|(A?E)x?0?

n证明：A为幂等矩阵当且仅当R?W1?W2.

57.设A是数域P上线性空间V的线性变换，?,?是A的特征值，且???，

1212

V?,V?分别是对应于?,?的特征子空间，试证：V??V?是直和.

12121258.设?1,?2,?3,?4是4维空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为

?10???12?12??2?21??13?，求A的核和值域.

55??1?2?TTTT259.已知向量?1??1,2,4,3?,?2??1,?1,?6,6?,?3???2,?1,2,?9?,?4??1,1,?2,7?,

T（1）求线性子空间W?L(?1,?2,?3,?4)的维数与一个基； ???4,2,4,a?，

（2）求a 的值，使得??W ，并求?在（1）所选基下的坐标.

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