数值计算上机实习题目（matlab编程）

非线性方程求根

一、实验目的

本次实验通过上机实习，了解迭代法求解非线性方程数值解的过程和步骤。

二、实验要求

1、用迭代法求方程3x2?ex?0的根。

要求：确定迭代函数?(x)，使得x=?(x)，并求一根。提示：构造迭代函数??ln(3x2)。

2、 对上面的方程用牛顿迭代计算。

3、 用割线法求方程f(x)?x3?3x?1?0在x0?2附近的根。误差限为10?4，取

x0?2,x1?1.9。

三、实验内容

1、（1）首先编写迭代函数，记为iterate.m

function y=iterate(x) x1=g(x); % x为初始值。 n=1;

while(abs(x1-x)>=1.0e-6)&(n<=1000) % 迭代终止的原则。 x=x1; x1=g(x); n=n+1; end

x1 %近似根 n %迭代步数

（2） 后编制函数文件?(x)，记为g.m function y=g(x) y=log(3*x.^2);

（3）设初始值为0、3、-3、1000，观察初始值对求解的影响。将结果记录在文档中。 >>iterate(0)

>>iterate(3) 等等

2、（1）首先编制牛顿迭代函数如下,记为newton.m

function y=newton(x0)

x1=x0-fc(x0)/df(x0); % 牛顿迭代格式 n=1;

while(abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(n<=1000000) % 迭代终止的原则。 x0=x1;

x1=x0-fc(x0)/df(x0); n=n+1; end

x1 %近似根 n %迭代步数

(2)对题目中的方程编制函数文件，记为fc.m

function y=fc(x) y=3*x.^2-exp(x)

编制函数的导数文件，记为df.m function y=df(x) y=6*x-exp(x)

(3)在MATLAB命令窗计算，当设初始值为0时， newton(0)；给定不同的初始值，观察用牛顿法求解时所需要的迭代步数，并与上面第一题的迭代步数比较。将得到的结果记录下来。

3、参考上面两题的程序，编写割线法的MATLAB程序，并求解问题的近似根。

四、课外练习

1.迭代函数对收敛性的影响 实验题目

3f(x)?2x?x?1?0的根。 用迭代法求方程

方案1 化方程为等价方程

取初值x0?0，迭代10次。 方案2 化f(x)?0为等价方程

x?3x?1??(x)2

x?2x3?1??(x)

取初值x0?0，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。

2.初值的选取对迭代法的影响 实验题目

3用牛顿法求方程x?x?1?0在x?1.5附近的根。 方案1 使用牛顿法并取x0?1.5，由

f(xk)xk?1?xk?f?(xk)

得

xk?1迭代10次。

方案2 取x0?0，使用同样的公式

3xk?xk?1?xk?23xk?1

3xk?xk?1xk?1?xk?23xk?1

迭代10次，观察比较并分析原因。

3.收敛性与收敛速度的比较 实验题目

3f(x)?x?sinx?12x?1的全部实根，??10?6. 求方程

方案1.用牛顿法求解； 方案2.用简单迭代法；

取相同迭代法初值，比较各方法的收敛速度。

线性方程组的数值解法

实验一

实验目的：

练习引入迭代和矩阵的形式来解决方程组问题。巩固方程与矩阵相互关系的概念。

实验要求:

学会用矩阵的形式来解决方程组问题在计算机上的实现。分析雅可比迭代与其它迭代的异同。

实验内容：

题目：用雅可比迭代求方程组： AX=B 已知：A、B如下：

A = B = -4 -1 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 5 0 -1 4 0 0 -1 0 -1 0 0 4 -1 0 6 0 -1 0 -1 4 -1 2 0 0 -1 0 -1 4 6

原理： 先找出下三角阵-L，再找出上对角阵-U，还有主对角阵D。 迭代公式x=inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*B

设计思想： 利用迭代即可在循环中实现的原则来完成此方程组的求解，所用的

迭代公式为：x=inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*B

实验二

实验目的：加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析的角度看问题。同

时用Matlab编写代码。如果编程有困难，就利用已经给出的命令来求解。

实验要求: 用选主元素法和高斯消去法两种方法解方程组。熟悉直接求解的

方法。

实验内容：

题目：用选主元素法和高斯消去法求解下列方程组：

已知方程增广矩阵：a =

2 -1 0 0 6 -1 -3 -2 0 1 -1 3 -2 0 0 0 0 -3 5 1

原理： (1)高斯消去法：相对于约当消去法而言，总的来说就是将增广矩阵化为

下三角阵。

(2) 选主元素法:相对于高斯消去法的唯一不同是每次将对角线元素化为1前，要先按当前要排列元素所在列大小进行排列。

设计思想： (1)高斯消去法：首先让每一行的元素除以该行的主对角线元素。然

后利用此行使位于下一行主对角线以前的元素变为0，依次类推。

(2)选主元素法：在高斯消去法的基础上，每次进行化上三角阵之前，重新排列各方程的位置。

三、课外练习题

1、用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代求方程组：A*X= B A=[5 2 1 ;-1 4 2 ;2 -3 10]， B=[-12 ;20 ;3] 给定初始值 X=[0 ;0 ;0]

并给出满足一定精度时迭代终止的步数。

2、设A=[1 2 3;2 3 4;3 4 7]，b=[6 9 14]，用直接法求解方程组的解。 3、熟悉矩阵范数的求法，生成n阶的Hilbert矩阵，并计算其条件 数，了解病态矩阵。

附：求解线性方程组的相关资料

一、直接法—矩阵除法

关于线性方程组的直接求解，如高斯消去法、选主元消去法、追赶法等，只需要矩阵左除、右除即可。求Ax=b，一般x=A\\b。

另外，有关直接解法及处理大型矩阵的运算和编程需要，还需要了解几种矩阵分解。

（1） LU分解 lu(A)

（2） Cholesky分解 chol(A) （3） 奇异值分解 svd(A) （4） QR分解

（5） 有时需要用到系数矩阵的对角部分等等，有 上三角变换：由triu实现 下三角变换：由tril实现

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