配套K12河北省2019年中考数学复习 三角形 第24讲 直角三角形与锐

小学+初中+高中+努力=大学

第24讲 直角三角形与锐角三角函数

1. (2012，河北)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.

第1题图

【解析】 ∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝38°.∵AC⊥CD于点C，∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－38°＝52°.

2. (2014，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不等于(A)

第2题图

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【解析】 如答图．将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为3，4，5，故n≠2.

第2题答图

3. (2018，邯郸一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的中线CD的长为(A)

第3题图

A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

【解析】 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC＋BC＝10.∵CD是

1

Rt△ABC的中线，∴CD＝AB＝5.

24. (2018，唐山路南区三模)如图，在正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是(C)

2

2

第4题图

A. 16 B. 18 C. 19 D. 21 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

222

【解析】 ∵AE⊥BE，且AE＝3，BE＝4，∴在Rt△ABE中，AB＝AE＋BE＝25.∴S阴影＝S正方形ABCD112

－S△ABE＝AB－AE·BE＝25－×3×4＝19.

22

.

直角三角形中的边角关系

例1 (2018，扬州高邮模拟)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)

A. ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A－∠B＝∠C C. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D. ∠A＝∠B＝3∠C 【解析】 选项A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形．同理可证，B，C两选项中的△ABC均是直角三角形．选项D中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故此选项中的△ABC不是直角三角形.

针对训练1 (导学号5892921)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，

M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.设AB＝4，∠DBE＝30°，则△DEM的面积为 3 .

训练1题图

【解析】 ∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形．∴EM，DM分11

别是它们斜边上的中线．∴EM＝DM＝AB.∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA.

22

1

∴∠BME＝2∠MAE.同理MD＝AB＝MA.∴∠MAD＝∠MDA.∴∠BMD＝2∠MAD.∴∠EMD＝∠BME－

2∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC＝2∠DBE＝60°.所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝3.

针对训练2 (2018，宜城模拟)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则BC的长为10或6.

【解析】 本题分两种情况．(1)如答图①，AB＝10，AC＝210，AD＝6.在Rt△ABD和Rt

2222

△ACD中，根据勾股定理，得BD＝AB－AD＝8，CD＝AC－AD＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.(2)如答图②，AB＝10，AC＝210，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，

2222

得BD＝AB－AD＝8，CD＝AC－AD＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC的长为10或6.

训练2答图

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锐角三角函数的定义

例2 (2018，哈尔滨道里区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为(C)

例2题图

3

A. 3sin 35° B. C. 3cos 35° D. 3tan 35°

cos 35°【解析】 ∵cos 35°＝＝，∴BC＝3cos 35°.

AB3

针对训练3 (2018，唐山古冶区二模)如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED等于(C)

CBCB

训练3题图

A. 1 B.

213 C. D. 222

AC1

【解析】 ∵AC＝1，AB＝2，∴tan∠ABC＝＝.由圆周角定理，得∠AED＝∠ABC.

AB2

1

∴tan∠AED＝.

2

3

针对训练4 如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则

2sin∠CAB等于(B)

训练4题图

333103A. B. C. D. 25510

【解析】 如答图，作CD⊥AB于点D.由题意，得AB＝AC＝5，BC＝2.由三角形的面积，

3551335CD3

得AB·CD＝.∴CD＝.∴sin∠CAB＝＝＝. 225AC55

训练4答图

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特殊角的三角函数值

例3 (2018，嘉兴一模)把一把直尺与一块三角板如图所示放置．若sin∠1＝的度数为(B)

2

，则∠22

例3题图

A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°

【解析】 如答图．∵sin∠1＝22

，∴∠1＝45°.∵在Rt△EFG中，∠3＝90°－∠1＝

90°－45°＝45°，∴∠4＝180°－∠3＝135°.∵AB∥CD，∴∠2＝∠4＝135°.

例3答图

针对训练5 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tan A＝1，sin B＝

2

，你认为△ABC最确2

切的判断是(B)

A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

【解析】 由题意，得∠A＝45°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.

针对训练6 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tan A的值为(A)

训练6题图

332 C. D. 322

【解析】 ∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2×(180°－∠BOC)＝180°－

A. 3 B. 2×(180°－120°)＝60°.∴tan A＝tan 60°＝3.

一、 选择题

1. (2018，天津)cos 30°的值为(B)

23

B. C. 1 D. 3 22

【解析】 根据特殊角的三角函数值直接解答即可． A.

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2. (2018，深圳龙岗区模拟)如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么其中的一个锐角的度数是(B)

A. 9° B. 18° C. 27° D. 36°

【解析】 设较小的锐角是x°，则另一个锐角是4x°.则x＋4x＝90.解得x＝18.∴4x＝72.所以两个锐角分别是18°和72°.

3. (2018，孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A的值为(A)

第3题图

3434A. B. C. D. 5543

【解析】 在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝AB－AC＝10－8＝6.∴sin A＝

BC63＝＝. AB105

4. (2018，贵阳)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tan∠BAC的值为(B)

2

2

2

2

第4题图

13

A. B. 1 C. D. 3 23

【解析】 如答图，连接BC.由网格，得AB＝BC＝5，AC＝10，即AB＋BC＝AC.

∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°.∴tan∠BAC＝1.

2

2

2

第4题答图

5. (2018，淄博，导学号5892921)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(B)

第5题图

A. 4 B. 6 C. 43 D. 8

【解析】 ∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且MN平分∠AMC，∴∠B＝∠AMN＝∠NMC，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC.∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC.∴∠B＝30°.∵AN＝1，∴MN＝2.∴AC＝AN＋NC＝3.∴BC＝6. 小学+初中+高中+努力=大学

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