信号与系统习题解

第6章 系统及系统的时域分析

例1 设一个LTI离散系统的初始状态不为零，当激励为f1(n)?u(n)时全响应为

??1?n???1?n?y1(n)?????1?u(n)，当激励为f2(n)??u(n)时全响应为y2(n)??????1?u(n)。

22????????????（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为f3(n)?4u(n)时，求系统的全响应y3(n)。 （2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为f4(n)?4u(n?2)时，求系统的全响应y4(n)。 （3）求该系统的单位序列响应h(n)。

解：设系统的初始状态保持不变，当激励为f1(n)?u(n)时系统的零输入响应和零状态响应分别为yx(n)、yf(n)。依题意，有：

??1?n?y1(n)?yx(n)?yf(n)?????1?u(n) ○1

??2????根据LTI系统的性质，当激励为f2(n)??u(n)时全响应为

??1?n?y2(n)?yx(n）?yf(n)??????1?u(n) ○2

2??????联立式○1、○2，可解得：

??yx(n）?????yf(n)????1?n?1?1?n?1??????u(n)???2?2?????????1????2????n?1

?1??????2?n?1??1?u(n)??同样，根据LTI系统的基本性质，不难得到：

（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为f3(n)?4u(n)时，系统的全响应为：

y3(n)?yx(n)?4yf(n)

??1?n?1?1?n?1???1?n?1?1?n?1??????????u(n)?4????????1?u(n) 22?2???2???????????? 145

n?1??1?n?1??1???5???3????4?u(n)

2?2???????（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为f4(n)?4u(n?2)时，系统的全响应为：

y4(n)?2yx(n)?4yf(n?2)

??1?n?1?1?n?1???1?n?1?1?n?1??????????u(n)?4????????1?u(n?2)

22?2???2????????????（3）由于?(n)?u(n)?u(n?1)，所以该系统的单位序列响应为：

h(n)?yf(n)?yf(n?1)

??1?n?1?1?n?1??????????1?u(n)?2?2?????????1?n?1?n?????????1?u(n?1) 2?2???????例2 一个LTI连续系统对激励f(t)?sintu(t)的零状态响应yf(t)如例2图所示，求该系统的冲激响应h(t)。

解：依题意，该系统的零状态响应为：

1yf(t)yf(t)?sintu(t)?h(t)

012t由于没学过卷积逆运算，无法直接求得冲激响应h(t)，可以从卷积运算的性质下手，设法使激励信号中出现?(t)，这样就有可能求出h(t)。

dsintu(t)dt例2图因为?costu(t)dsintu(t)2，

dt2??(t)?sintu(t)

不难发现：

sintu(t)?dsintu(t)dt22?sintu(t)?[?(t)?sintu(t)]??(t)

从而，一方面，根据卷积分配律：

146

sintu(t)?h(t)?2dsintu(t)dt222?h(t)?[sintu(t)???(t)?h(t)?h(t)dsintu(t)dt]?h(t)

h(t)dsintu(t)dt22另一方面，根据卷积的微分性质：

sintu(t)?h(t)??h(t)?yf(t)?dyf(t)dt221（1）（1）

012t故系统的冲激响应为：

h(t)?yf(t)?dyf(t)dt22

（2）例2解图其波形如例2解图所示。

例3 求下面例3图（1）所示系统中的加权系数h(n)，以使得该系统与例3图（2）所示的系统等效。

x(n)Dh(0)h(1)DDh(2)??D??h(n)?y(n)例3图（1）

?65x(n)D?Dy(n)例3图（2）D

解：如果两个离散系统的单位序列响应相同，则这两个系统等效。因此，必须先求出每个系统的单位序列响应。

根据例3图（2），可以得到该系统的差分方程为：

y(n)?5y(n?1)?6y(n?2)?x(n)?x(n?1)

设该系统初始状态为零，当激励x(n)为单位取样信号?(n)时，系统响应y(n)就是单位序列响应h0(n)，上述差分方程可以写为：

h0(n)?5h0(n?1)?6h0(n?2)??(n)??(n?1)

147

此差分方程的特征方程为：

??5??6?0

2解之，得特征根：

?1?2，?2?3

由于激励是单位取样信号?(n)，方程特解为零，故单位序列响应的形式与齐次解相同，即：

h0(n)?(C1?2?C2?3)u(n)

nn 由于初始状态

h0(?1)?h0(?2)?0

不难根据差分方程迭代求出n?0的初始条件：

h0(0)?1 h0(1)?6

将它们代入单位序列响应，求得

?h0(0)?C1?C2?1 ?

?h0(1)?2C1?3C2?6?C1??3解之，得 ?

C?4?2故： h0(n)?(?3?2?4?3)u(n) ○1 对于例3图（1）所示系统的响应为：

y(n)?h(0)x(n)?h(1)x(n?1)????h(N)x(n?N)????nn

??h(m)x(n?m)m?0

?x(n)?h(n)因为系统的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的卷积，所以图（1）所示系统中的各加权系数h(n)正是该系统的单位序列响应在不同时刻的样值。这样要使图（1）和图（2）所示的两个系统等效，则图（1）所示系统的加权系数h(n)就应和式○1相同，即

h(n)?(?3?2?4?3)u(n)

nn从上面分析可以看出，图（1）所示系统实际上是一个卷积器。利用这个结构可以模拟线性离散系统。

148

6.3 习题精解

5. 已知系统方程及其对应的初始条件（0?状态），求系统的零输入响应。 （1）y''(t)?2y'(t)?2y(t)?f(t)，给定：y(0?)?0，y'(0?)?2； （2）y''(t)?2y'(t)?y(t)?f(t)，给定：y(0?)?1，y'(0?)?2； 解：

（1）特征方程为：??2??2?0，得特征根：?1??1?j，?1??1?j 因而，可设零输入响应为：yx(t)?e(C1cost?C2sint),代入初始条件得：

yx(0?)?e?t2?tt?0

(C1cost?C2sint)?tt?0??C1?0

?tyx'(0?)?[?e(C1cost?C2sint)?e(?C1sint?C2cost)]t?0???C1?C2?2

联立以上两式，解得 C1?0，C2?2 所以，系统的零输入响应为： yx(t)?2e2?tsintu(t)

（2） 特征方程为：??2??1?0，得特征根：?1??2??1 因而，可设零输入响应为： yx(t)?(C1t?C2)e代入初始条件得：

yx(0?)?(C1t?C2)eyx'(0?)?[C1e?t?tt?0??t,t?0

?C2?1

?t?(C1t?C2)e]t?0??C1?C2?2

联立以上两式，解得 C1?3，C2?1

所以，系统的零输入响应为： yx(t)?(3t?1)eu(t)

6. 给定系统微分方程、初始状态（0?状态）以及激励信号分别为以下三种情况： （1）y'(t)?2y(t)?f(t)，y(0?)?0，f(t)?u(t) （2）y'(t)?2y(t)?3f'(t)，y(0?)?0，f(t)?u(t)

（3）2y''(t)?3y'(t)?4y(t)?f'(t)，y(0?)?1，y'(0?)?1，f(t)?u(t)

试判断系统在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其y(0?)值，对（3）写出y(0?)

149

?t

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库信号与系统习题解在线全文阅读。