停车场车位分配问题(2)

P(X k)

k

k!

e (k 0,1,2,...)

再根据假设第一条即：假设在第i个时间段初到段末来到停车场停车的车辆不会在这个时间段离开，都是在第(i 1)之后的时间段离开，就可以列出以下式子：

第1个时间段：

I1 T1 N1； O1 0；

第2个时间段：

O2 I1 P(X 1)； I2 T2 O2； N2 T2 2O2；

第3个时间段：

O3 I1 P(X 2) I2 P(X 1)；

I3 T3 O3； N3 T3 2O3；

第i个时间段：

Oi I1 P(X i 1) I2 P(X i 2) ... Ii P(X 1)；

Ii Ti Oi； Ni Ti 2Oi；

由SPSS软件根据泊松分布模拟出4月1日的停车量，如表（3）

用上述计算公式即可计算出单位时间内也就是每个时间段的进入停车场车辆的数目和离开停车场车辆的数目。用折线图来表示如下图所示：

图（2）

根据上图容易得到各时间段停车量如图表所示：

图（3）

综上所述，各时间段的进入停车场的车辆的数目，离开停车场的车辆的数目以及停车量如 下表所示：

各时间段停车量与停车数

表（3）

从图（2），图（3）和表（3）中可以看出，在13点以前停车量总体上是上升的，但是有在13点到14点之间有一个停车量最大值，然后就是稍稍下降和持平。到了17点，出现一次明显的下降，停车量迅速减小直至所有车都离开停车场。 利用SPSS软件对4月1日的停车量进行二次曲线拟合，得到如表（6

）和图（4）

表（4）

图（4）

表（4）中，R 方表示复相关系数的平方，反映的是自变量与因变量之间的密切程度，通常衡量二元线性回归模型的拟合程度，取值在0到1之间，越靠近1说明拟合程度越高。由表（4）中可知R 方是0.721说明该模型拟合程度很好，

Sig.值为0小于0.05，因此，线性回归方程显著。由表（4）可得其方程为

y 1.28x2 20.215x 7.073

x表示时间段，y表示停车量 第二问

定义冲突概率 ：一天中的某个时间段出现车位不够的现象。即停车场发生冲突

也就是来到停车场的车的数量比停车场车位的数量多。

由第一问可知，在第八时间段即13:00—14:00停车量是最多的，所以这个时间段发生冲突的概率最大，如果其他时间段发生了冲突，这个时间段必然也会发生冲突，因此，想要得到最大售卡量，只要考虑这个时间段即可。

利用SPSS软件对13:00—14:00的停车流量做频数分布表分析，可得如表（5) 和图（5），由第一问可知，停车流量样本分布大致呈正态分布。

表（5）

以13:00—14:00这个时间段来到停车场的车辆数目为横坐标，以达到相同来车数目的次数为纵坐标作柱状图得到这个时间段即最高峰来车数分布直方图如下图所示:

图（5）

由表（5）可得中位数M为134。

由于该停车场有212各车位，允许发生冲突的概率为0.05，所以该时间段的停车上限为212*1.05=222，所以，加上冲突后可以让222个人来停车。在停车量高峰期时，可能来停车的数目的占用率与停车量的占用率的差值 为允许发

生冲突概率0.05下的停车数目，那么计算最大售卡量的公式为：

m=222+ 212

的得来：停车的数目的占用率与停车量的占用率如下表（6）

表（6）

图（7）

由图（7）可知，第八时间段的可能来停车的数目的占用率与停车量的占用率的差值

=0.547169811-0.419811321 0.13

m=222+ 212=222+0.13 212=239

综上所述：当 0.05时，最大售卡量m 239。 第三问

数学线性规划模型

我们建立数学线性规划模型解决该问题 ， 首先我们做出以下假设 ： 近似认为该停车场将车位划分为包月或者包年的停车流量和临时的停车流量两种。

设每天售年卡、月卡、临时卡分别为x1,x2,x3,三种卡的单价分别为

a1,a2,a3,

建立目标函数：

max z a1x1 12a2x2 360a3x3

.st. x1 x2 x3 239 （1） a1 12a2 （2）

a2 30a3 （3） x1,x2,x3,a1,a2,a3 0 （4）

利用Lingo软件可以从该结果中得到，我们在售卡时在冲突概率小于0.05的条件下年卡卖120张，月卡卖95张，临时卡卖16张，其中年卡单价为3200，月卡单价为300，临时卡单价15。这样得到的收益最高为1590000.

六、模型的检验

利用SPSS软件对12:00-13:00时间段的停车流量进行配对样本T检验，输出结果为下表：

表（7）

表（9）

由以上表知Sig.值为0.474大于0.05，说明理论值和实际值的差异不显著，则用正态分布模拟较为准确。

七、模型的评价

问题一 ： 由于本题中的统计资料以及相关数据较少 ， 建立一个准确的数据模型比较困难 ， 因此我们使用了SPSS统计回归方法 得到了停车量的曲线方程，虽然是一个较为近似的结果 ，但可信度比较高。

问题二： 第二题中的冲突概率 α 的定义随机性较大 ，没有准确的定义 ，

在之后的解题过程当中会有一定的影响。

八、参考文献

（1）姜启源，谢金星，叶俊 编《数学模型（第三版）》，高等教育出版社 （2）罗应婷.SPSS统计分析从基础到实践【M】.北京：电子工业出版社，2007.

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