柯西不等式的证明及其应用(3)

于是16S2 (a b c)(b c a)(c a b)(a b c)

a b c

。 2

2(b2c2 c2a2 a2b2) a4 b4 c4

由柯西不等式，有

(b2c2 c2a2 a2b2)2 (b4 c4 a4)(c4 a4 b4) (a4 b4 c4)2

b2c2a2

当且仅当2 2 2，即a b c时等式成立。

cab

于是4(a4 b4 c4) 4(b2c2 c2a2 a2b2)。 变形得：

a4 b4 c4 2b2c2 2c2a2 2a2b2 3(2b2c2 2c2a2 2a2b2 a4 b4 c4)。

即(a2 b2 c2)2 3 16S（S是三角形的面积）

故有a2 b2 c2 ，当且仅当a b c时等号成立。

kexi budengshi

5）推导点到直线的距离公式

已知点P(x0,y0)及直线l:Ax By C 0(A2 B2 0)，设Px1,y1)是l上任意1(

P到l的距离，证明：一点，点P到P1的距离的最小值|PP1|就是点

|PP

1|

。

证明：因为P1是l上的点，所以有Ax1 By1 C 0。 （1）

而|PP

| （2） 1

由柯西不等式，

A(x1 x0) B(y1 y0)

Ax1 Ax0 By1 By0 Ax1 By1 (Ax0 By0) （3） 由（1）得：Ax1 By1 C （4） 将（4）代入（3）

C (Ax0 By0)

PP1 C (Ax0 By0) C (Ax0 By0) 移项则有：|PP

1|

（5）

当且仅当

y1 y0B

（5）式取等号，即点到直线的距离公式： 即PP1 l时

x1 x0A

|PP

1|

。

参考文献：

[1] 王学功，著名不等式，中国物资出版社

[2]李永新李得禄，中学数学教材教法，东北师大出版社 [3]柯西不等式与排序不等式，南山，湖南教育出版社 [4]柯西不等式的微小变动，数学通报，2002 第三期

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Application of Cauchy inequality

Zenglin Zhao

(Department of mathematics, Qinghai University For Nationalities,Xining,Qinghai,810007) Abstract: Cauchy inequality is a very important inequality in this paper using five different methods to prove the Cauchy inequality, and gives a number of inequality in the proof of Cauchy's inequality, and the value function, solution of equations,

solution of triangular and geometric issues application, and finally to prove the point with the straight-line distance from the formula, a better explanation of the Cauchy inequality.

Keywords: Cauchy inequality; proof; application

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