《2014挑战中考数学压轴题》1.4 因动点产生的平行四边形问题(3)

满分解答

（1）抛物线c2

的表达式为y 2

（2）抛物线c1

：y 2x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)

，顶点为．

抛物线c2

：y 2x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)

，顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M

的坐标为( m，与x轴的两个交点为

A( 1 m,0)、B(1 m,0)，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N

的坐标为(m,，与x轴的两个交点为

D( 1 m,0)、E(1 m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

1

情形一，如图2，B在D的左侧，此时AB AE 2，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m

3

＝2．

21

情形二，如图3，B在D的右侧，此时AB AE 2，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得m ．

32

图2 图3 图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．

考点伸展

第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB

△ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合． 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．

例6 2010年山西省中考第26题

在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA

＝OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．

思路点拨

1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．

2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．

满分解答

(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在Rt△ABH中，AH＝3，BA

＝BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)． (2) 因为OE＝2EB，所以xE

22

xB 2，yE yB 4，E(2,4)． 33

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得

b 5,1

解得k ，

2 2k b 4.

1

b 5．所以直线DE的解析式为y x 5．

2

1

(3) 由y x 5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF

＝

2

①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,

55)，点N的坐标为(－5,)． 22

②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为

(4,8)．

③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．

由△NPO∽△DOF，得

NPPONPPONO，

即．解

得NP

，

510DOOFDF

PO N

的坐标为( ．

图3 图4

考点伸展

如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．

图5 图6

例7 2009年江西省中考第24题

如图1，抛物线y x 2x 3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

2

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．

思路点拨

1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程． 3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．

满分解答

（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1． （2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．

把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）． 把x＝1代入y x 2x 3，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）． 因此DE=2．

因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为(m, m 3)，点F的坐标为

2

(0, m2 2m 3)，因此FP ( m2 2m 3) ( m 3) m2 3m．

m2 1当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到 m 3m 2．解得m1 2，

（与点E重合，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．

②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此

2

11

FP OM FP BM 22

139

( m2 3m) 3 m2 m． 222S S BCF S BPF S CPF

m的变化范围是0≤m≤3．

图2 图3

考点伸展

在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．

如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此yD yF yP yE． 于是4 ( m 2m 3) ( m 3) 2．解得m1 0（与点CE重合，舍去），m2 1（与点E重合，舍去）．

因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．

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