数学分解因式之十字交叉法(2)

例3
　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 　　1 2 　　╳ 　　5 -4 　　1×(-4)+5×2=6 　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y). 　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式. 　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2 　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2 　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2 　　1 -2 　　╳ 　　2 1 　　1×1+2×（-2）=－3 　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1] 　　=(x-y-2)(2x-2y+1). 　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
　　x^2+2x-15 　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） 　　(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 　　=(x-3）(x+5） 　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+
pq=(x+p)(x+q) 　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么 　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 　　a b 　　╳ 　　c d 　　教学重点和难点 　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数

不是1的二次三项式分解因式； 　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.
编辑本段解决两者之间的比例问题
原理
　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。 　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C 　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C 　　M/S=(C-B)/(A-B) 　　1-M/S=(A-C)/(A-B) 　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C) 　　上面的计算过程可以抽象为： 　　A ………C-B 　　……C 　　B……… A-C 　　这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰
使用时的注意事项
　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。 　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
例题
　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？ 　　十字相乘法 　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。 　　本科生：-2%………8% 　　…………………2% 　　研究生：10%……… -4% 　　本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。 　　去年的本科生：7500×2/3=5000 　　今年的本科生：5000×0.98=4900 　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。 　　鸡兔同笼问题 　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 　　十字相乘法 　　解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚 　　鸡：70……… …46 　　……………………94 　　兔：140……… …24 　　鸡：兔=46：24=23：12 　　答：鸡有23只，兔有12只。
编辑本段十字相乘法解一元二次方程
例1
　　把2x^2-7x+3分解因式. 　　分析：先 分解二次项系数， 　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 　　再分解常数项， 　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角， 　　然后交叉相乘， 　　求代数和，使其等于一次项系数. 　　分解二次项系数（只取正因数）： 　　2=1×2=2×1； 　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）. 　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 　　1 1 　　╳ 　　2 3 　　1×3+2×1=5
　　1 3 　　╳ 　　2 1 　　1×1+2×3=7 　　1 -1 　　╳ 　　2 -3 　　1×（-3）+2×（-1） =-5 　　1 -3 　　╳ 　　2 -1 　　1×（-1）+2×（-3） =-7 　　经过观察，第四

种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 　　解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）. 　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）， 　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积， 　　即a=a1a2， 　　常数项c可以分解成两个因数之积， 　　即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2， 　　排列如下： 　　a1 c1 　　╳ 　　a2 c2 　　a1c2+a2c1 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1， 　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b， 　　即a1c2+a2c1=b， 　　那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积， 　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式. 　　分析：按照例1的方法， 　　分解二次项系数6及常数项-5， 　　把它们分别排列， 　　可有8种不同的排列方法， 　　其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7 　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 　　解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5） 　　指出：通过例1和例2可以看到， 　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解， 　　往往要经过多次观察， 　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 　　对于二次项系数是1的二次三项式， 　　也可以用十字相乘法分解因式， 　　这时只需考虑如何把常数项分解因数. 　　例如把x^2+2x-15分解因式， 　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2 　　所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.

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