2010届高考复习资料：高中数学基础知识汇总

2013届高三数学资料

高中新课标数学基础知识汇总

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？．．．．．还是曲线上的点？… ；

2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽．．．．象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n?1；非空真子集的数为2n?2； （2）A?B?A?B?A?A?B?B; 注意：讨论的时候不要遗忘了A??的情况； （3）a?A,a?A;B?A,B?A；

?

第二部分 函数与导数

1．映射：非空数集A到非空数集B的一个对应；

注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数的三要素：解析式、定义域、值域；

函数解析式的求法:待定系数法、换元法、代入法求表达式； 函数定义域的求法：求函数解析式有意义时自变量的取值范围。

（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数的真数大于零； （4）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； （5）tan??x???中，?x???k???2,k?Z，

函数值域的求法（最值）：①分析法 ；②配方法 ；③利用函数单调性（导数法）；④基本函数的值域 ； ⑤利用均值不等式 ab?3．复合函数的有关问题

复合函数单调性的判定：①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数

a?b⑥利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）； ,(a?0,b?0)；

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y?f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原

函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数y?f(u)的定义域是内函数u?g(x)的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0)； f(x)⑶f(x)是偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)?1(f(x)?0)； f(x)⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：f(x)在区间M上是增（减）函数??x1,x2?M,当x1?x2时

f(x1)?f(x2)?0(?0)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0(?0)?f(x1)?f(x2)?0(?0)；

x1?x2⑵判定函数单调性的定义法：注意：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期

①y?sinx:T?2? ；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??；

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④y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T??2? ；⑤y?tan?x:T?；

|?||?|⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论：①f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a；②

y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称?f(x)周期T?2a?b；③y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b轴对称?f(x)周期为T?2a?b；

④y?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线x?b轴对称?f(x)周期T?4a?b； 8．基本初等函数

⑴幂函数：y?x （??R) ；⑵指数函数：y?a(a?0,a?1)； ⑶对数函数:y?logax(a?0,a?1)；⑷正弦函数:y?sinx；

⑸余弦函数：y?cosx ；（6）正切函数：y?tanx；⑺二次函数：f(x)?ax?bx?c(a?0)； ⑻其它常用函数：①正比例函数：y?kx(k?0)；②反比例函数：y?③函数y?x?2?xk1(k?0)；特别的y?， xxa(a?0)； x29．二次函数：⑴解析式：①一般式：f(x)?ax?bx?c；

②顶点式：f(x)?a(x?h)?k，(h,k)为顶点；③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) 。（其中a?0） ⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

⑷三个“二次”之间的关系：①利用图像记住不等式的解集；②利用二次函数解决方程根的分布： 10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰy?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右“-”； ⅱy?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)———上“+”下“-”；

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② 伸缩变换：

ⅰy?f(x)?y?f(?x)， （??0)———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

1倍； ?ⅱy?f(x)?y?Af(x)， （A?0)———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍； ③ 对称变换：ⅰy?f(x)????y??f(?x)；ⅱy?f(x)????y??f(x)；

ⅲ y?f(x)????y?f(?x)；

ⅳy?a,(a?0且a?1)????y?logax,(a?0且a?1)；

④ 翻转变换：ⅰy?f(x)?y?f(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱy?f(x)?y?|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然；

注：①曲线C:F(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线C:F(2a?x,2b?y)?0； ②曲线C:F(x,y)?0关于直线x?a的对称曲线C:F(2a?x,y)?0； ③曲线C:F(x,y)?0关于直线y?x?a的对称曲线C:F(y?a,x?a)?0 曲线C:F(x,y)?0关于y??x?a的对称曲线C:F(?y?a,?x?a)?0 12．函数零点的求法：⑴直接法（求f(x)?0的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数 ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作

'n'''''x(0,0)y?0x?0y?xf?(x0)?limn?1?x?0'f(x0??x)?f(x0)；

?x⑵常见函数的导数公式: ①C?0；②(x)?nx'x'xx'；③(sinx)?cosx；

x11'；⑧(lnx)?； xlnaxuu?v?uv?⑶导数的四则运算法则：(u?v)??u??v?;(uv)??u?v?uv?;()??；

vv2'④(cosx)??sinx；⑤(a)?alna；⑥(e)?e；⑦(logax)?第4页（共31页）

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?? ⑷复合函数的导数：y?x?yu?ux；

⑸导数的应用：①利用导数求切线方程： y?f(x0)?f(x0)(x?x0)

②利用导数判断函数单调性：ⅰ f?(x)?0?f(x)是增函数；ⅱ f?(x)?0?f(x)为减函数；ⅲ

'f?(x)?0?f(x)为常数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数f?(x)；ⅱ求方程f?(x)?0的根；ⅲ列表得极值； 注：判断极值应对极值的两端导数符号进行判断；

④利用导数最大值与最小值：ⅰ求得的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值． 注：在应用题中，开区间内的唯一极值为所求的最值； 14．定积分

⑴定积分的定义：?f(x)dx?lim?abb?af(?i)

n??ni?1n⑵定积分的性质：

①?akf(x)dx?k?af(x)dx （k常数）；②?a[f1(x)?f2(x)]dx??af1(x)dx??af2(x)dx； ③?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx （其中a?c?b)。

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：?af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a) ⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S??a|f(x)?g(x)|dx； ① 求变速直线运动的位移：S??av(t)dt；③求变力做功：W?bbbbcbbbbbb?baF(s)ds．

第三部分 立体几何

1．三视图与直观图：掌握利用三视图求解组合体的表面积与体积； 2．表（侧）面积与体积公式：

⑴圆柱：①表面积：S全?2?r(l?r)；②侧面积：S?2?rl；③体积：V?Sh； ⑵圆锥：①表面积：S全??r(l?r)；②侧面积： S??rl；③体积：V?221Sh： 3'⑶圆台：①表面积：S全??(r?r'?lr?lr')；②侧面积：S??(r?r)l；

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第六部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：?弧度?180，1????18011⑵弧长公式：l??R；扇形面积公式：S??R2?Rl。

22弧度，1弧度?(180?)??57?18'

2．三角函数定义：角?终边上任意一点P为(x,y)，设|OP|?r则：

sin??yxy,cos??,tan??(x?0) rrx3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”； ５．同角三角函数的基本关系：sinx?cosx?1;22sinx?tanx； cosx６．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin(???)?sin?cos??cos?sin?; ②cos(???)?cos?cos??sin?sin?;③tan(???)?tan??tan? 。

1?tan?tan?④辅助角公式：asinx?bcosx?其中tan??a2?b2sin?x???，

b，?所在的象限由a,b的符号确定 a７．二倍角公式：①sin2??2sin?cos?；

②cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?；③tan2??８．⑴y?Asin(?x??)：?A?0,??0? ①当x?2k??22222tan?。 21?tan??2(k?Z)时，ymax?A；当x?2k??3?(k?Z)时，ymin??A； 2②单调递增区间：[2k???2??2k??,?2????单调递减区间： [2k?????2??2k??,?3?2],(k?Z)；

?k??],(k?Z)

k???2?③周期T?；④对称轴：x???2??(k?Z)；⑤对称中心：(??,0)(k?Z)；

⑵y?Acos(?x??)：?A?0,??0?

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①当x?2k?(k?Z)时，ymax②单调递增区间：[?A；当x?2k???(k?Z)时，ymin??A；

,2k?????2k?????2k???2k?????单调递减区间： [,],(k?Z)

??],(k?Z)；

2?k???③周期T?；④对称轴：x?,(k?Z)；⑤对称中心：(??⑵y?Atan(?x??)

k???2??,0),(k?Z)；

?①单调递增区间：x?(k???2??k??,?2??),(k?Z)；

??k????②周期T?；③对称中心：(2,0)(k?Z)

??9．正、余弦定理⑴正弦定理

abc???2R（2R是?ABC外接圆直径） sinAsinBsinC注：①a:b:c?sinA:sinB:sinC；②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC； ③

abca?b?c。 ???sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC222222222⑵余弦定理：a?b?c?2bccosA，b?a?c?2accosB，c?a?b?2abcosC；

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2注：cosA?；cosB?；cosC?．

2bc2ab2ac10。几个公式:⑴三角形面积公式：

S?ABC?11ah?absinC?22p(p?a)(p?b)(p?c),(p?1(a?b?c))； 2C b h a ⑵内切圆半径r?2S?ABC；外接圆直径2R?a?b?c;

sinAsinBsinCa?b?c11．已知a,b,A时三角形解的个数的判定：

其中h?bsinA,⑴A为锐角时：

A ① a?h时，无解；②a?h时，一解（直角）；

③h?a?b时，两解（一锐角，一钝角）；④a?b时，一解（一锐角）。 ⑵A为直角或钝角时：①a?b时，无解；②a?b时，一解（锐角）。

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第七部分 平面向量

1.向量的基本概念

?????向量：既有大小又有方向的量；表示方法：有向线段AB，有向线段a； ??相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作：a?b；

????平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a//b；（0//a）

2.向量的线性运算

(1)向量加法运算及其几何意义 平行四边形法则：

????????????三角形法则：AB?BC?AC(首尾连接)；

(2)向量减法运算及其几何意义

????????????三角形法则：OA?OB?BA

??????注：a?b?a?b?a?b

(3)向量数乘运算及其几何意义

????实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，长度为：?a??a，

????方向：当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反； ?? 当??0时，?a?0；

?????? (4)非零向量的数量积：a?b?a?bcos?，（0????,?是向量a与?b的夹角）

规定零向量与任一向量的数量积为0，

????????注：当??0时，a与b同向；当0???时，a?b?0；当??时，a?b；

22?????当???? 时，a?b?0； 当???时，a与b异向． 2???????a?b的几何意义：a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?的乘积．

3.向量的平行与垂直

?????????????a//b?a??b(b?0)；a?b?a?b?0(a?0,b?0)

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?????4．平面向量的基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一个平面内的 ???????任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使得 a??1e1??2e2

?????????2???结论：设a与b都是非零向量：a?a?a；a?a?a；a?b?ab；

5．坐标运算：

????????点A的坐标(a,b)即是向量OA的坐标(a,b)，记作：A(a,b)；OA?(a,b)； ????????A(x1,y1)，B(x2,y2) 则 AB?(x2?x1,y2?y1)；AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2； ??? a?(x1,y1)，b?(x2,y2) 则 a?x12?y12 ?????a?b?(x1?x2,y1?y2)， a?b?(x1?x2,y1?y2)， ?a??(x1,y1)?(?x1,?y1)，

????a?ba?b?x1x2?y1y2，cos?????ab??a?b?x1?x2,y1?y2

x1x2?y1y2x?y2121x?y2222 ????????a?b?x1y2?x2y1?0（a,b是任意向量）；，a?b?x1x2?y1y2?0（a,b是非零向量） ????????????6．三点共线的充要条件P,A,B三点共线?OP?xOA?yOB（且x?y?1）；

????????????????四点共面的充要条件A,B,C点不共线，P,A,B,C四点共面?OP?xOA?yOB?zOC

（且x?y?z?1）。

第八部分 数列

1．定义：

｛an｝?an?1?an?d(d为常数）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*) ⑴等差数列

?an?kn?b?Sn?An?Bn；

2｛an}?⑵等比数列

an?1?q(q?0)?an2?an-1?an?1(n?2,n?N*) an?an?cqn(c,q均为不为0的常数）?Sn?k?kqn(q?0,q?1,k?0)；

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2．等差、等比数列性质 通项公式 等差数列 等比数列 an?a1?(n?1)d an?a1qn?1 1.q?1时，Sn?na1;前n项和 n(a1?an)n(n?1)Sn??na1?d 22a1(1?qn)a1?anq2.q?1时，Sn??1?q1?q 性质1 an?am?(n?m)d an?amqn?m m?n?k?l时， 性质2 am?an?ak?al Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?成等差， m?n?k?l时，aman?akal 一般地，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?成等比，公比q?q； 'n性质3 公差d?nd '2性质4 ak,ak?m,ak?2m,?成等差, 公差d'?md ak,ak?m,ak?2m,?成等比, 公比q'?q m等差数列特有性质：①项数为2n时：S偶?S奇?nd ；

S奇S偶?an； an?1②项数为2n?1时：S2n?1?(2n?1)a中；S奇-S偶?a中 ；3．数列通项的求法：

S奇S偶?n； n?1⑴分析法；⑵定义法（利用等差,等比的定义）；⑶公式法：an??n?1?S1,

S?S,n?2n?1?n⑷叠加法（an?1?an?cn型）；⑸叠乘法（⑺数学归纳法：归纳——猜想——证明； 注：当遇到an?1?an?1?d或4．前n项和的求法：

an?1?cn型）；（6）构造法（an?1?kan?b型）； anan?1?q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。 an?1第15页（共31页）

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