2011年全国各地中考数学压轴题汇编(5)

?a?b?c?0?a??1?? ?c?3解得?b?2

?c?3?9a?3b?c?0?? ∴过点C，A，A'的抛物线的解析式为y??x2?2x?3。 (2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。

∴OB?OA2?AB2?10,又?OC'D??OCA??B.

?C'OD??BOA,∴?C'OD??BOA 又OC'?OC?1,

∴

?C'OD的周长OC'1,又△ABO的周长为4?10。 =??BOA的周长OB10∴?C'OD的周长为4?10210。 =1?510（3）连接OM，设M点的坐标为(m，n)， ∵点M在抛物线上，∴n??m2?2m?3。 ∴S?AMA'?S?AMO?S?OMA'?S?AOA'

111393=OA?m?OA'?n?OA?OA'?(m?n)??(m?n?3) 22222233327=??(m2?3m)??(m?)2?

2228315因为0?m?3，所以当m?时，n?。△AMA’的面积有最大值

4231527所以当点M的坐标为(，)时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。

248

（2011年广东省）22．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在

DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向

运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？ （3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

D C

P F D P M A F C W B W Q N 第22题图（1）

B A N Q M - 21 -

22、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF

同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP

（2）当x?4或x?4时，△PQW为直角三角形； 344当0≤x<，

123（2011年桂林市）26．（本题满分12分）已知二次函数y??x?x的图象如图.

42（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、

B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线

CM与⊙D的位置关系，并说明理由. 26．（本题满分12分） 解: （1）由y??123bx?x得 x???3 ????1分 422a∴Ｄ（３，０）????2分

（2）方法一:

如图1, 设平移后的抛物线的解析式为

13y??x2?x?k ????3分

42则C(0,k) OC=k

123令y?0 即 ?x?x?k?0

42

- 22 -

得 x1?3?4k?9 x2?3?4k?9 ????4分 ∴A(3?4k?9,0)，B(3?4k?9,0)

∴AB2?(4k?9?3?3?4k?9)2?16k?36???5分

AC2?BC2?k2?(3?4k?9)2?k2?(3?4k?9)2

?2k2?8k?36????????6分 222∵AC?BC?AB

2即: 2k?8k?36?16k?36

得 k1?4 k2?0(舍去) ?????7分

123∴抛物线的解析式为y??x?x?4 ?????8分

42

方法二: ∵ y??123?9?x?x ∴顶点坐标?3,? 42?4?设抛物线向上平移h个单位,则得到C?0,h?,顶点坐标M?3,∴平移后的抛物线: y????9??h?????3分 4?192?x?3???h????????4分 44192当y?0时, ??x?3???h?0, 得 x1?3?4h?9 x1?3?44∴ A(3?4h?9,0) B(3?4h?9,0)????????5分

∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ∴OC?OA2OB????????6分

2 4h?9h2??4h?9?3??4h?9?3 得 h1?4,h2?0?舍去?????7分

1912522?x?3???4???x?3??????8分 4444?∴平移后的抛物线: y??

（3）方法一:

如图2, 由抛物线的解析式y??123x?x?4可得 4225A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M(3,) ????9分

4过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H, 则MH?3 ∴DM?(2252625)? 41625225?4)2? 416CM2?MH2?CH2?32?(在Rt△COD中,CD=32?42?5=AD

∴点C在⊙D上 ???????10分 ∵DM?(2252625)? 416 - 23 -

225252625?()? ??11分 16416222∴DM?CM?CD CD2?CM2?52?∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM ∴直线CM与⊙D相切 ????12分

方法二:

如图3, 由抛物线的解析式可得

A(-2 ， 0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M(3,25) ????9分 4作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则MH?3,

DM?2515, 由勾股定理得CM? 44∵DM∥OC

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME ????10分

DEMD? 得 DE?5 ????11分 MHCM由(2)知AB?10 ∴⊙D的半径为5

∴

∴直线CM与⊙D相切 ????12分

（达州市2011年）23、(10分)如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B（?3，0）两点，

与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC． (1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

- 24 -

23、（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：y?a(x?x1)(x?x2) ∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（?3,0)两点， ∴y?a(x?1)(x?3)

又∵抛物线与y轴交于点C（0，3） ∴a(0?1)(0?3)?3，∴a??3

2∴y??(x?1)(x?3) y??x?2x?3?????3分

用其他解法参照给分

（2）∵点A（1，0），点C（0，3） ∴OA=1，OC=3， ∵DC⊥AC，OC⊥x轴 ∴△QOC∽△COA ∴

OQOCOQ3?? ，即OCOA31∴OQ=9，????????4分

又∵点Q在x轴的负半轴上，∴Q（?9,0)

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