（2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，
与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x?4x?12?0的两个根。
2（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。 y
O M
A B x
N C
28题图 228．（1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。
∴A(?2,0)，B(6,0)。222222222222222222221分 又∵抛物线过点A、B、C，
故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，
1。 3124 ∴抛物线的解析式为y?x?x?4。222222223分
33（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。
∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB?8，AM?m?2。2222222222222222222222222224分 ∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。 NHAMNHm?2m?2??∴，∴，∴NH?。222222222222222225分 COAB48211y CO?AM?NH ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?221m?21?(m?2)(4?)??m2?m?3 2222226分 2241F2 F1 ??(m?2)2?4。 4A O 将点C的坐标代入，求得a?
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B x D E 图（2）
∴当m?2时，S△CMN有最大值4。
此时，点M的坐标为（2，0）。222222222222227分 （3）∵点D（4，k）在抛物线y?124x?x?4上， 33y ∴当x?4时，k??4，
∴点D的坐标是（4，?4）。
DE， 如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF∵D（4，?4），∴E（0，?4），DE?4。 ∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 22222222229分 ① 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时， 设F(n,0)，则平行四边形的对称中心为 （
E? A E? F3 O D 图（3） B F4 x n?2，0）。2222222222222222210分 2∴E?的坐标为（n?6，4）。
1242把E?（n?6，4）代入y?x?x?4，得n?16n?36?0。
33解得 n?8?27。
F3(8?27,0)，F4(8?27,0)
4
28．（本题满分12分）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y=x的图象交于点A，
3
且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒
1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
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yy=-x+7A4y=x3BOx
y=-x+7???x=3
28．解：（1）根据题意，得?4，解得 ?，∴A(3，4) .
?y=4y=x??3
令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4. 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得 1111
(3+7)34-333(4-t)- t(7-t)- t34=8 2222整理,得t-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4≤t＜7.
1
由S△APR= 3(7-t) 34=8，得t=3（舍）
2
∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8. ②当P在OC上运动时，0≤t＜4. ∴AP=（4-t）+3，AQ=2t，PQ=7-t 当AP =AQ时， （4-t）+3=2(4-t), 整理得，t-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，（4-t）+3=(7-t), 整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) 当AQ=PQ时，2（4-t）=(7-t) 整理得，t-2t-17=0 ∴t=1±32 (舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于
D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
5AEAC
由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．
AQAO3541
当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .
381
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP
21
得t-4= (7-t)，解得t =5.
2当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F 115
AF= AQ = 3(t-4).
223在Rt△APF中，由cos∠PAF＝
O2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
yCPAlBORxyCPlABORxyCPAlQBORxyClPEQAFBRDx33AF
＝ ，得AF＝ AP AP55
153226
即 3(t-4)= 3(7-t)，解得t= . 23543
41226
∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.
843
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23如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。 (1) 设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线y l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于M P 点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN的面积等于
32的k值？若存在，请求出符25A C D 合的k值；若不存在，请说明理由。
23、解：（1）、
∵y轴和直线l都是⊙C的切线 ∴OA⊥AD BD⊥AD 又∵ OA⊥OB
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB是矩形 ∵⊙C的半径为2 ∴AD=OB=4
∵点P在直线l上
∴点P的坐标为（4，p） 又∵点P也在直线AP上 ∴p=4k+3
（2）连接DN
∵AD是⊙C的直径 ∴ ∠AND=90°
∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD
又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN …………4分 ∵∠MAN=∠BAP …………5分 ∴△AMN∽△ABP …………6分 (3)存在。 …………7分 理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3 AB=
N O 第23题 B x y M P D C A N O 第23题 B x AD2?BD2?42?32?5
11AB2DN=AD2DB 22AD?DB4?312?∴DN==
AB551222562 ∴AN2=AD2-DN2=4?()?
525∵ S△ABD=
∵△AMN∽△ABP
S?AMNAN2?S?ABPAN2AN2)?S?ABP?∴ ……8分 ?() 即S?AMN?(2APAPS?AMNAP
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当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2+PD2 = AD2+(PB-BD)2 =42+(4k+3-3)2 =16(k2+1) 或AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1) S△ABP= ∴S?AMN11PB2AD=(4k+3)34=2(4k+3) 22AN2?S?ABP256?2(4k?3)32(4k?3)32 ????AP225?16(k2?1)25(k2?1)25整理得k2-4k-2=0 解得k1 =2+6 k2=2-6 …………9分 当点P在B 点下方时，
∵AP2=AD2+PD2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1) S△ABP= ∴S?AMN11PB2AD=[-(4k+3)]34=-2(4k+3) 22AN2?S?ABP?256?2(4k?3)32 ???2225AP25?16(k?1)32 …10分 25y K D E B F O A x 化简，得k2+1=-（4k+3） 解得k=-2
综合以上所得，当k=2±6或k=-2时，△AMN的面积等于
24、(本题12分)
l，0)， 已知两直线l，2分别经过点A(1，0)，点B(?31l2
C 并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有
l1?l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线 l2交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式； (2)抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴
依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
l1 (第24题)
(3)当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。 24、(1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA ∴
COAOCO1??，即 BOCO3CO ∴CO?3
∴点C的坐标是(0，3)
由题意，可设抛物线的函数解析式为y?ax2?bx?3
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