2011年全国各地中考数学压轴题汇编(2)

444y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，则G(t,?t?4)，

55542244t?4）此时：NG=?t?4-（t?，

5554220t． 2=?t?2222222222222222222222222222222222222７分

55114220525t)?5??2t2?10t??2(t?)2?∴S?ACN?NG?OC?(?t?

225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，

22542245t?4??3，∴N（， -3）由t?，得：y?t?． 22222222 8分

5522法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则

S?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC

（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）

（重庆市潼南县2011年）26.（12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角

形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，

OC=4，抛物线y?x2?bx?c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线

上

是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

y yB B

ACOACOxxDD26题图- 6 -

26题备用图

26. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）------------1分

∵二次函数y?x2?bx?c的图像经过点A（-1，0）B(4,5) ∴??1?b?c?0 ------------2分

?16?4b?c?5解得：b=-2 c=-3 ------------3分 （2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1 ∵二次函数y?x2?2x?3

∴设点E(t， t+1),则F（t，t?2t?3） ------------4分 ∴EF= (t?1)?(t2?2t?3) ------------5分 =?(t?)?∴当t?2

32225 4325时，EF的最大值= 2435∴点E的坐标为（，） ------------------------6分

22（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．

可求出点F的坐标（

315，?）,点D的坐标为（1，-4） 24S四边行EBFD = S?BEF + S?DEF

12531253?(4?)??(?1) 24224275 = -----------------------------------9分

8 =

2２６题备用图

②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m?2m?3) 则有：m?2m?3?252－262?26 解得:m1?,m2? 222∴p1(2?2652－265,) ,), p2(22222ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n?2n?3）

n?则有：n2?2n?3??154 解得：1115（，－） P32413 ，n2?（与点F重合，舍去）∴22 - 7 -

综上所述：所有点P的坐标：p1(1152?2652－265（，－）（. 能,)P,)，p2(3242222使△EFP组成以EF为直角边的直角三角

形．------------------------------------12分

26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝

6x（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．

（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求△AOB的面积；

（3）Q是反比例函数y＝

6y（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO x 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB． B 解：（1）点P在线段AB上，理由如下： ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°

O∴AB是⊙P的直径

∴点P在线段AB上．

（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2

是△AOB的中位线，故S△AOB＝ ∵P是反比例函数y＝

PQA（第26题） 11OA3OB＝32 PP13PP2 226（x＞0）图象上的任意一点 x11∴S△AOB＝OA3OB＝32 PP132PP2＝2 PP13PP2＝12．

22（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12． ∴OA2OB＝OM2ON OAON∴ ?OMOByB∵∠AON＝∠MOB NP∴△AON∽△MOB Q∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB．

AO27．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的

函数关系式，并求S的最小值．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形 QD∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

MxCN - 8 -

MFAEPB

∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE 又∵PQ⊥MN

∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM．

（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝QE2?PE2＝(1?t)2?4 ∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ＝(1?t)2?4 又∵PQ⊥MN

5111∴S＝PQ?MN＝(1?t)2?4＝t2－t＋

2222∵0≤t≤2

∴当t＝1时，S最小值＝2．

51综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．

22??

（江苏省宿迁市2011年）28．（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，

1AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD

2为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

F解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝ ∵BC＝CD，AE＝AD

151得 AC＝12?()2＝ 222G5?1． 2 （2）∠EAG＝36°，理由如下：

∴AE＝AC－AD＝

∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝

AEDB5?1 2AE5?1∴＝ FA2∴△FAE是黄金三角形

∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

- 9 -

C（第28题）

∵AE＝AG，FA＝FE

∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA

∴∠EAG＝∠F＝36°．

21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

A（D） A（D） F

F

H G C C（E） B B

E

题21图(1) 题21图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

（1）、△HAB △HGA； （2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0

①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图（1）：可知CG=x=92/2 ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图（2）：由△HGA∽△HAB 知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-92

A （D）

A （D）

B

B

G E

C （H） F

G E

H F

C

图（1） 图（2）

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