2011年全国各地中考数学压轴题汇编

24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线y?和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．

⑴求b的值． ⑵求x1?x2的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

12x交于M（x1，y1）4y F M O l M1 F1 第22题图

N

?x?x1?x?x2答案：24．解：⑴b=1⑵显然?和?是方

y?yy?y?1?2x N1 ?y?kx?112x?kx?1?0，依据“根与程组?的两组解，解方程组消元得?124y?x??4系数关系”得x1?x2=－4

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下： 直线y=－1即为直线M1N1．

l F P M O M1 F1 Q 第22题解答用图

N1 x N y 如图，设N点横坐标为m，则

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25.（本小题满分10分）已知二次函数y?x2?2mx?4m?8

（1）当x?2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。

（2）以抛物线y?x2?2mx?4m?8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形

AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？

若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

（3）若抛物线y?x2?2mx?4m?8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。

y 0 x A

答案：25．（10分）解：（1）∵y?(x?m)2?4m?8?m2

∴由题意得，m?2 ································································ （3分） （2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN?y轴，设抛物线的对

称轴与MN交于点B，则AB?3BM。设M(a,b) ∴BM?a?m(m?a)

又AB?yB?yA?b?(4m?8?m2)

?a2?2ma?4m?8?(4m?8?m2)

?a2?2ma?m2?(a?m)2

∴(a?m)2?3(a?m) ∴a?m?3 ∴BM?3，AB?3 ∴S?AMN?

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11AB?2BM??3?2?3?33定值 ············ （3分） 22

2y B M N 0 A x （3）令y?0，即x?2mx?4m?8?0时，有

2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?4 2由题意，(m?2)2?4为完全平方数，令(m?2)2?4?n2 即(n?m?2)(n?m?2)?4

∵m,n为整数， ∴n?m?2,n?m?2的奇偶性相同

∴??n?m?2?2?n?m?2??2或?

n?m?2?2n?m?2??2???m?2?m?2或?

?n?2?n??2解得?综合得m?2

24如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？

请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数

y

y?解：

k的图象经过点O1，求k的值（用含a的代数式表xχ

示）． （４分）

第24题图

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24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，OC?OA2?AC2?25?9?4，1分 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，22222222222222222222222222222分 ∴

ACAO35?，即?， 222222222222222222223分 COOB4OB2020 ∴OB? ， ∴B(0,)222222222222222222224分

33 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， 2222222222221分

11?OA?CE??CA?OC， 221112即：?5?CE??3?4，∴CE?，22222222222222222222222222分

225161212216222∴OE?OC?CE?4?()? ∴C(,)，2222222223分

5555设经过A、C两点的直线解析式为：y?kx?b．

1612 把点A（5，0）、C(,)代入上式得：

554?k???5k?b?0???3， ?1612 ， 解得：?20k?b???b?55??3?20420 ∴y??x? ， ∴点B(O,) ．24分

333过C作CE⊥OA于点E，则：

（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：

连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，

∴CD?1OB?OD， 2∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°， ∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，

∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； 222222222222222226分 由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心O1(由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴

22OPOD,)， 22ACOA25?，求得：AB=，在Rt△ABO中， OAABaOA5525?a21525?a2? ，OD=OB?，OP?OB?AB?OA?22a22ak5525?a2∴O1(,)，点O1在函数y?的图象上，

x44a525?a24k2525?a2∴， ∴k??4a516a

- 4 -

． 22222222222222228分

（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，

B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分） （2）设点P为抛物线（x?5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长

度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2分） ．．．．（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分） 解：

25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为

y?a(x?1)(x?5)，2222222222221分

4

， 5

442244162x?4?(x?3)? ∴y?(x?1)(x?5)?x?，22222222222分 第25题图 2

55555 ∴抛物线的对称轴是：x?3．222222222222222222222222222222222222223分

把点A（0，4）代入上式得：a?

（2）由已知，可求得P（6，4）． 222222222222222222222222222222222225分

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，

因为抛物线对称轴AM?OA2?OM2?42?32?5，

过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对称点

与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，4）．222222222222222222222222222222222225分 （注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但

考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分）

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N(t,4224t?t?4)55（0?t?5)，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：

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