2011年全国各地中考数学压轴题汇编(4)

把A(1，0)，B(?3，0)的坐标分别代入y?ax2?bx?3，得

?3a????a?b?3?0?3 ?， 解这个方程组，得??9a?3b?3?0?b??23?3? ∴抛物线的函数解析式为y??3223x?x?3 33 解法2：由勾股定理，得(OC2?OB2)?(OC2?OA2)?BC2?AC2?AB2 又∵OB=3，OA=1，AB=4

∴OC?3 ∴点C的坐标是(0，3)

由题意可设抛物线的函数解析式为y?a(x?1)(x?3)，把C(0，3)代入

函数解析式得a??3 33(x?1)(x?3) 3 所以，抛物线的函数解析式为y??(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：

可求得直线l1的解析式为y??3x?3，直线l2的解析式为y? 抛物线的对称轴为直线x?1

由此可求得点K的坐标为(?1，23)，点D的坐标为(?1，

3x?3 343)，点E的坐3标为(?1，

23)，点F的坐标为(?1，0) 3 ∴KD=

232323，DE=，EF= 333 ∴KD=DE=EF

解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：

由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得 EF?BF?tan30??

23，KF?AF?tan60??23， 3- 16 -

由顶点D坐标(?1，

434323)得DF?∴KD=DE=EF=

333(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1，由抛物线对称

性可知点M1为点C关于直线x??1的对称点

∴点M1的坐标为(?2，3)，此时△M1CK为等腰三角形

(ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点M1和点A，

而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形

(iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且l1?l2，可知l经过点D， ∴KD=DC

此时，有点M2即点D坐标为(?1，

43)，使△M2CK为等腰三角形； 343)时，△MCK为等 3 综上所述，当点M的坐标分别为(?2，3)，(?1，

解法2：当点M的坐标分别为(?2，3)，(?1， 理由如下：

43)时，△MCK为等腰三角形。 3 (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(?2，3) 又∵点C的坐标为(0，3)，则GC∥AB

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形 ∴△CGK为正三角形

∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为(?2，3) (ii)连接CD，由KD=

23，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形 343) 3 ∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为(?1，

(iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点

A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 综上所述，当点M的坐标分别为(?2，3)，(?1，

43)时，△MCK为等腰三 3 - 17 -

角形。

（2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，

与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x?4x?12?0的两个根。

2（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。 y

O M

A B x

N C

28题图

228. （1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。

∴A(?2,0)，B(6,0)。22222222222222222222222221分

又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，将点C的坐标代入，求得a?1。 3124x?x?4。22222222222222223分 33（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。

∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB?8，AM?m?2。2222222222222222222222222224分

∴抛物线的解析式为y?∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。

NHAMNHm?2m?2??，∴，∴NH?。222222222222222225分 COAB48211CO?AM?NH ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?22∴

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?1m?21(m?2)(4?)??m2?m?3 2222222222222222222222222226分 2241??(m?2)2?4。

4∴当m?2时，S△CMN有最大值4。

此时，点M的坐标为（2，0）。22222222222222222222222222222222222227分 （3）∵点D（4，k）在抛物线y?124x?x?4上， 33∴当x?4时，k??4，

∴点D的坐标是（4，?4）。 ② 如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF∵D（4，?4），∴DE?4。

DE，

∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 2222222222222222222222222229分 ③ 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F(n,0)， 则平行四边形的对称中心为（∴E?的坐标为（n?6，4）。 把E?（n?6，4）代入y?解得 n?8?27。

222222222222222222222222212分 F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。

y y n?2，0）。 22222222222222222210分 2124x?x?4，得n2?16n?36?0。 33H O M A N C 图（1）

B x F1 A O F2 B x E 图（2）

D - 19 -

y

F4 x

E? E? F3 A O B E 图（3）

D

24平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(?1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'。

(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长； (3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。

24．(本小题满分l4分)

解：(1)∵?A'B'OC'由?ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)， 点A'的坐标为(3，0)。

所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，A' (3，0)设抛物线的解析式为

y?ax2?bx?c(a?0)，可得

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