模块整合六：导数及其应用(8)

11∴h?t??lnt?1?在?1,???上单调递增，∴h?t??h?1??0，即1??lnt

tt综上所述，对任意x??0，???，恒有

例2（1）当a?1时，f(x)?x2?|lnx?1|

令x?1 得 f(1)?2,f?(1)?1,所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为：x?y?1?0。 （2）①当x?e时，f(x)?x2?alnx?a，f?(x)?2x?1x?11?ln?成立. x?1xxa (x?e) x ?a?0，?f(x)?0恒成立。 ?f(x)在[e,??)上增函数。

故当x?e时，ymin?f(e)?e2

② 当1?x?e时，f(x)?x2?alnx?1，

f?(x)?2x?a2aa?(x?)(x?)（1?x?e） xx22（i）当

a?1,即0?a?2时，f?(x)在x?(1,e)时为正数，所以f(x)在区间[1,e)上2为增函数。故当x?1时，ymin?1?a，且此时f(1)?f(e) (ii)当1?aaa2即2?a?2e时，f?(x)在x?(1,在间x?(?e，)时为负数，,e)

222aa)上为减函数，在(,e]上为增函数 22时为正数。所以f(x)在区间[1,故当x?3aaaaa?ln，且此时f()?f(e) 时，ymin?22222(iii)当

a?e；即 a?2e2时，f?(x)在x?(1,e)时为负数，所以f(x)在区间[1,e]2上为减函数，故当x?e时，ymin?f(e)?e。

222综上所述，当a?2e时，f(x)在x?e时和1?x?e时的最小值都是e。

22所以此时f(x)的最小值为f(e)?e；当2?a?2e时，f(x)在x?e时的最小值为

45

f(a3aaaa)??ln，而f()?f(e)， 22222所以此时f(x)的最小值为f(a3aaa)??ln。 22222当0?a?2时，在x?e时最小值为e，在1?x?e时的最小值为f(1)?1?a，

而f(1)?f(e)，所以此时f(x)的最小值为f(1)?1?a

所以函数y?f(x)的最小值为ymin?1?a,0?a?2?3aaa???ln,2?a?2e2 ?2222e,a?2e2?

例3（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB， 若∠BAO=?(rad) ，则OA?故OB?AQ10?, cos?cos?10，又OP＝10?10tan?10－10ta?， cos?1010??10?10tan?， 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????

cos?4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10?

?10cos??cos???20?10sin????sin??10?2sin??1??（Ⅱ）选择函数模型①，y?

cos2?cos2?''令y?0 得sin ????1，因为0???，所以?=，

462'当???0,????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???????,?时，y'?0 ，y是?的增函?64?数，所以当?=

?时，ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 6103km处。 3

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【课堂互动】

1. 2，2. (35,73)，3. ???1,3?2??，4.2n?1?2，5.20cos2t(cm/s)， m6.（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m，即n=x?1

所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(mx-1)+mx(2?x)x ?256xx?mx?2m?256. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f'(x)??256m32x2?132mx2?m2x2(x?512). 3 令f'(x)?0，得x2?512，所以x=64

当0

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当64?x?640时，f'(x)>0. f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n?mx?1?64064?1?9. 故需新建9个桥墩才能使y最小。

【好题精练】

91. a<0， 2.充要条件 ， 3.2， 4. m??1， 5. 2，

6. 1632x2272。提示：y=-x+x+2x,∴y′=-3+2x+2.所求直线与直线y=x平行.

∴k=1.令y′=1,即3x2－2x－1=0,(3x+1)(x－1)=0,x=－1或1,x=－133时,

y=(－127)+19－23=－1427,x=1时, y=-1+1+2×1=2.

故切点为A??114???3,?27??,B(1,2)。

切线方程为:l1:y+

1427=x+13,即x－y－527=0,l2:y－1=x－2,即x-y+1=0, 两切线间的距离为:d=1???5???27?=?16272.

2807.（-3，2）； 8.9?cms, 9. [0,??), 10. 45?a?1.,

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11. （1）EF=DM+DN-MF-EN=

2(sin??cos?)?1? （0???）

sin?cos?2（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（0????2），平板车的长度不能超过，

t2?1即平板车的长度?lmin；记sin??cos??t, 1?t?2，有sin?cos?=，

2=

2(sin??cos?)?14t?2=2=，

sin?cos?t?1此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记4t?2?m，则t?m?2）或直接求4导，以确定函数在[1,2]上的单调性；当t?

2时取得最小值42?2。

12.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）f'?x???1?kx?ekx,f'?0??1,f?0??0,

曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x. （Ⅱ）由f'?x???1?kx?ekx?0，得x?? 若k?0，则当x????,?1?k?0?， k??1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递减， k?当x????1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递增， ?k???1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递增， k? 若k?0，则当x????,? 当x????1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递减， ?k?1??1， k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k?0，则当且仅当?即k?1时，函数f?x???1,1?内单调递增， 若k?0，则当且仅当?1?1， k即k??1时，函数f?x???1,1?内单调递增，

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综上可知，函数f?x???1,1?内单调递增时，k的取值范围是??1,0???0,1?.2.,

13. （1）f(x)?x?x2?x2(x?0)． 当时，f/(x)?0，在(0,??)上单调递增； 当时，x?(0,a)时，f/(x)?0，在上单调递减；

/1ax?ax?(a,??)时，f/(x)?0，在(a,??)上单调递增．

综上所述，当时，的单调递增区间为(0,??)；当时，的单调递增区间为(a,??)，单调递减区间为．

（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值， 即fmin(x)?f(1)?0。而在上单调递减，在(1,??)上单调递增， 在(0,??)上由唯一的一个零点x=1．

必要性： =0在(0,??)上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即lna?a?1?0． 令g(a)?lna?a?1， g(a)?//11?a?1?． aa/当0?a?1时，g(a)?0，在上单调递增；当a>1时，g(a)?0， 在(1,??)上单调递减。gmax(a)?g(1)?0， =0只有唯一解a=1． =0在(0,??)上有唯一解时必有a=1． 综上：在a>0时， =0在(0,??)上有唯一解的充要条件是a=1． （3）证明：∵1

111???(x?1)lnx?2(x?1)?0. lnxx?12x?11/?2?lnx??1， 令F(x)?(x?1)lnx?2(x?1)，∴F(x)?lnx?xx1由（1）知，当a=1时，fmin(x)?f(1)?0，∴f(x)?f(1)?0，∴lnx??1?0．

x∴F(x)?0，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴F(x)?F(1)?0， ∴(x?1)lnx?2(x?1)?0。∴

x/111??(1?x?2)． lnxx?12??14. （Ⅰ）f?x??e?4x?3,则f?1??e?1，

又f?1??e?1，

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