模块整合六：导数及其应用

模块整合六：导数及其应用 第33课：导数的概念及运算

【考点阐释】

《考试说明》要求：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。本节的能级要求为导数的概念A级，其余为B级。 【高考体验】 一、课前热身

（1）（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x3?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . （2）（2009宁夏海南卷文）曲线y?xex?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 。

（3）（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为 . （4）（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 .

（5）（2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.

（6）(2009陕西卷理)设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则a1?a2???a99的值为 . 二、教材回归二 1.函数的平均变化率

一般地，函数f(x)在区间?x1,x2?上的平均变化率为 2.函数f(x)在x?x0处的导数 （1）定义

设函数

y?f(x)在区间(a,b)上有定义，x0?(a,b)，若?x无限趋于0时，比值

?y? ?x无限趋于一个常数A，则称f(x)在 处可导，并称该常数A为函数f(x)在点处 的导数，记作 （2）几何意义

'函数f(x)在点x0处的导数f(x)的几何意义是过曲线y?f(x)上的点 的切

线的斜率。

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3.基本初等函数的导数公式

C'?（C为常数）； (xa)'?（a为常数）；(sinx)'?；(cosx)'?；

基(ex)'?； (ax)'?；(lnx)'?；(logax)'?. 4.导数的四则运算法则 （1）?f(x)?g(x)'?'=

（2）?f(x)?g(x)?= ?f(x)?（3）?= ，g(x)?0。 ??g(x)?1；

三、同步导学

例1：已知质点M按规律s?2t?3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。

2'?s； ?t?s（2） 当t=2，?t?0.001时，求；

?t（1） 当t=2，?t?0.01时，求（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。

例2：求下列各函数的导数： （1）y?x?x5?sinxx22?; （2）y?(x?1)(x?2)(x?3);

11?x?11?x.

xx? （3）y??sin??1?2cos2?; （4）y?4?

例3：已知曲线y=x3?.?

（1）求曲线在x=2处的切线方程；? （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

四、高考定位

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，主要以填空题形式来考查；

2.能根据导数定义求最基本函数的导数，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；

3.会求切线的方程，区分在点处与过点的切线方程；

4.导数运算每年必考，常与导数的应用交汇，考查导数的运算能力。

【课堂互动】

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1. （2008江苏卷）直线y?1x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b＝ ． 22. （2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线

y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

3. 设f(x)=x(x+1)(x+2)?(x+n),则f′(0)=_________ 4. （2009安徽卷文）设函数

则导数

的取值范围是__________

，其中，

25. （2009江西卷）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x3和y?ax?15x?9都相切，则a4等于__________

1 (a,b∈Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切x?b6.（2008海南、宁夏卷）设函数f(x)?ax?线方程为y=3.

（1）求f(x)的解析式； （2）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

【好题精练】

1.一个物体的运动方程为y?1?t?t,其中y的单位：m，t的单位：s，那么物体在3s末的瞬时速度是_______m.

2s2. 已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f?(x)等于_______.

??2

3. 设P为曲线C：y=x+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是?0,??，

?4?则点P横坐标的取值范围为_______.

3

2

344. 若点P在曲线y=x-3x+(3-3)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为?，则角?的取值范围是_______.

5.（2008南通调研）给出下列的命题：①若函数f(x)?x,则f(0)?0；②若函数

3'f(x)?2x2?1图像上P(1,3)及邻近点Q(1+?x,3??y),则

?y?4?2?x；③加速度是动?xx22x?2x?x2?2x1'? ，点位移函数s(t)对时间t的导数；④y?x?lgx,则y?x222x45

正确的命题是_______.

6. （2009南通调研）曲线C：f(x)?sinx?ex?2在x=0处的切线方程为_______. 7. （2009徐州调研）.已知函数f(x)= f?()sinx+cosx，则f()= .

??248. 已知f1(x)?esinx，fn(x)?fn??1(x),n?2，则

x2008i?1?f(0)? .

i9. 已知函数f?x?的导函数为f'?x?，且满足f?x??3x2?2xf'?2?，则f'?5?? . 10. 设f0(x)?cosx,f1(x)?f0'(x),f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x),n?N?,则

f2008(x)? ．

11. 求下列函数在x=x0处的导数.? （1）f（x）=

12. 设函数f(x)?ax?ex1?x?ex1?x,x0?2;（2）f(x)?x?x3?x2lnxx2,x0?1.

b，f(2处)的切线方程为，曲线y?f(x)在点(2x7x?4y?12?0．

（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0和直线y?x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

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13. 已知曲线C y=x－3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标

14.球半径以2cms的速度膨胀（1）半径为5cm时，表面积的变化率是多少？ （2）半径为8cm时，体积的变化率是多少？

第34课：导数在研究函数中的应用 【考点阐释】 《考试说明》要求：了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，

会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会利用导数求函数的极大值和极小值（对多形式一般不超过三次）。本节的能级要求为B级。

【高考体验】

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一、课前热身

（1）（2009江苏卷）函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为 . 2?2?,]上的最大值为 . （2）（2009苏北四市调研）函数y?x?2sinx在区间[?33（3）（2009盐城调研）已知函数f(x)?e?x?lnx(e是自然对数的底数),若实数x0是方程

，“≥”，“＜”，f(x)?0的解,且0?x1?x0?x2,则f(x1) ▲ f(x2)(填“＞”“≤”).

（4）（2009苏、锡、常、镇调研）若函数f?x??mx2?lnx?2x在定义域内是增函数，则实

数m的取值范围是 ．

（5）（2009通州调研）f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)?0，

对任意正数a、b，若a＜b，则af(a),bf(b)的大小关系为 ．

3（6）（2008江苏卷）f(x)=ax-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= . 二、教材回归

1.函数的单调性与导数

（1） 设函数在某区间内可导，

如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间上为增函数； 如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间上为减函数； （2）f'(x)?0函数y?f(x)为增函数的 条件； 2.函数的极值

解方程f'(x)?0，当f'(x0)?0时，

（1）如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值； 3.求函数y?f(x)在?a,b?上的最值

（1）求函数

y?f(x)在 内的极值；

y?f(x)得各极值与 的函数值 比较，其中最大的

（2）将函数

一个是最大值，最小的一个为最小值。

三、同步导学

例1：（2009通州调研）已知函数y?f(x)?（1）求函数y?f(x)的图像在x?lnx. x1处的切线方程； e45

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