模块整合六：导数及其应用(2)

（2）求y?f(x)的最大值；

(3) 设实数a?0，求函数F(x)?af(x)在?a,2a?上的最小值.

例2：（2009南通调研）设a为实数，已知函数f(x)?1x3?ax2?(a2?1)x.

3（1）当a=1时，求函数f(x)的极值．

（2）若方程f(x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围．

例3：（2009南通调研）已知函数g(x)?π），fx()m?x1sin??x?lnx在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，

m?1，m∈R． ?nxlx（1）求θ的值；

（2）若f(x)?g(x)在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

?（3）设h(x)?2e，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)?g(x0)?h(x0)成立，求xm的取值范围．

四、高考定位

1.以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值（最值）； 2.利用函数的单调性求参数的范围；

3.利用数形结合思想，及函数的单调性判断方程的根。 【课堂互动】

1. (2009南京师大附中期中)函数y?x?2sinx在（0，2?）内的单调增区间为 . 2. (2009苏州中学期中) 若函数h(x)?2x?范围是

kk?在(1,??)上是增函数，则实数k的取值x33.（2009通州调研）函数f(x)?1ax3?1ax2?2ax?2a?1的图像经过四个象限的充要条件是

32

4. （2009镇江调研）方程x3?3x?m?0在[0，1]上有实数根，则m的最大值是 5. （2009扬州调研） 若函数f?x??13x?a2x满足：对于任意的x1,x2??0,1?都有3|f?x1??f?x2?|?1恒成立，则a的取值范围是 6. （2009苏北四市调研）

已知函数f(x)?ax?3,g(x)?bx（1）试求b,c所满足的关系式；

?11?cx?2(a,b?R)且g(?)?g(1)?f(0).

245

（2）若b?0，方程f(x)?g(x)在（有唯一解，求a的取值范围； 0，??）（3）若b?1，集合A?xf(x)?g(x),且g(x)?0，试求集合A。

??

【好题精练】 1．（2007年广东文）函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是____________．

2. （2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围

是_____________.

13. 若f(x)??x2?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的取值范围是

244. 若函数y??x3?bx有三个单调区间，则b的取值范围是 35. （2007年江苏9）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任

意实数x都有f(x)?0，则

f(1)的最小值为________ f'(0)

6．（2007年江苏13）已知函数f(x)?x3?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别 为M,m，则M?m?

7. 函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值10，则a= ，b= 8．已知函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值为10，则f(2)=___________ 9. 若f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为

10. f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时,f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且g(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集是____

3

2

3

2

2

3

2

2

11. （2009全国Ⅱ卷）设函数

(1)讨论f(x)的单调性;

f(x)?13x?(1?a)x2?4ax?24a3，其中常数a>1

(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

12. （2009辽宁卷）设f(x)?ex(ax2?x?1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴

平行。

（I） （II）

求a的值，并讨论f（x）的单调性； 证明：当??[0,?2]时，f(cos?)?f(sin?)?2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

45

13．设函数f?x??ax?lnx，g?x??a2x2.

⑴当a??1时，求函数y?f?x?图象上的点到直线x?y?3?0距离的最小值； ⑵是否存在正实数a，使f?x??g?x?对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

14. (2009南京调研) 已知函数f(x)?12x?alnx(a?R) 2 （1）若函数f(x)在x?2处的切线方程为y?x?b，求a,b的值； （2）若函数f(x)在(1,??)为增函数，求a的取值范围； （3）讨论方程f(x)?0解的个数，并说明理由。

第35课：简单复合函数的导数 【考点阐释】

《考试说明》要求：会求简单复合函数的导数，高考一般不单独考查，为附加题部分知

识。本节的能级要求为B级。

【高考体验】 一、课前热身

（1）函数y?2sin3x的导数是 . （2）函数y?xe的导数是 （3）函数log2(x?2x)的导数是

'（4）如y=f(x)是可导函数，且f(1)?2,则当x=1时函数f()的导数值为

22x1x（5）设函数f(x)?sin(?x??6)?1(??0)的导数f?(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一

条对称轴的方程是 .

f'(0)（6）已知f(x)?(x?x?1),则? .

f(0)210二、教材回归

若y?f(u)，u?ax?b，则y'x? ，即y'x?

45

三、同步导学

例1:求函数的导数

(1)y?1?x (2)y?(ax?bsin2?x)3 (3)y?f(x2?1) 2(1?x)cosx

例2： 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s?的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1 4 m时，梯子上端下滑的速度

例3：（2009南通调研）已知函数g(x)=x2-2(x≥2)记函数f(x)=x-kg(x)(x≥2, k

为常数）.

（1）若函数f(x)在区间?2,???上为减函数，求k的取值范围；

（2）求函数f(x)的值域.

四、高考定位

1. 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法

则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 2. 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系

【课堂互动】

1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于 .

12.函数y?(ex?e?x)的导数是 2x2?a(a?0)的导数为0，则x的值是 3.如函数y?x4.若f(x)?(2x?a)2，且f'(2)?20，则a?

5.如果函数y?f?cosx)是可导函数，则y对x的导数是 6. （2009南通调研）

已知等式(x2?2x?2)5?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a9(x?1)9?a10(x?1)10，其中

ai（i=0，1，2，?，10）为实常数．求：

（1）?an的值；

n?11010（2）?nan的值．

n?1

【好题精练】

1．函数y?(5x?3)4的导数是

45

2. 函数y?sinncosnx的导数是 3. 函数y?1的导数是 (1?3x)41在x=1处的导数值是 x4. 函数y?ln5. 函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为

?6．曲线y?cos2(x?)在点P（?,0)处的切线方程为

47.函数f(x)?sin3x?3cosx的值域为

1?8．如函数f(x)?asinx?sin3x在x=处有最值，则a?

339. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大 ????10.函数f(x)?sin2x?x在??,?上的最大值为______，最小值为______。

?22?11. 求函数的导数

(1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y?2x2?x ; (3)y=3x 1?x

12. 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂

位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

32?x13．（2009宁夏海南卷理）已知函数f(x)?(x?3x?ax?b)e

（I） （II）

如a?b??3，求f(x)的单调区间；

若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明

???＜6.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

14. 利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3x2+?+nxn?1 (x≠0,n∈N*)

*23n(2)Sn=C1n+2Cn+3Cn+?+nCn,(n∈N)

45

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