模块整合六：导数及其应用(6)

当?3?9?4a3?9?4a9)∪(,0)． ?a?0时，A?(??,2a2a4注：可直接通过研究函数y?ax?3与y?

【好题精练】

1

的图象来解决问题． x

?1?) 3. b??1， 4. (0,??)， ,???， 2. (??,0，1.?e??

2 5. ， 6. 32, 7. a=4,b=-11, 8. 11或18,

9. ［-1，2］, 10. (－∞，－3)∪(0，3),

2? （1）f(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)11.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减

函数。

（2）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。 f(2a)?41(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a ??a3?4a2?24a

33 f(0)?24a

由假设知

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?a?1,?a?1?4??f(2a)?0, 即???a(a?3)(a?6)?0, 解得 1

12. （Ⅰ）f'(x)?e(ax?x?1?2ax?1).有条件知，

f'(1)?0，故a?3?2a?0?a??1. 于是f'(x)?e(?x?x?2)??e(x?2)(x?1).

x2xx245

故当x?(??,?2)?(1,??)时，f'(x)＜0； 当x?(?2,1)时，f'(x)＞0.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

从而f(x)在(??,?2)，(1,??)单调减少，在(?2,1)单调增加. （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]单调增加，故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)?e， 最小值为f(0)?1.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

从而对任意x1，x2?[0,1]，有f(x1)?f(x2)?e?1?2. 而当??[0,?2]时，cos?,sin??[0,1].

从而 f(cos?)?f(sin?)?2 由f?x???x?lnx 得f??x???1?1 ，令f??x??1 得 113. ⑴xx?2 ∴所求距离的最小值即为P??1,f??1?????2?到直线x?y?3?0的距离

?2?1? d?2????12?ln2????32?12?4?ln2?2 ⑵假设存在正数a，令F?x??f?x??g?x? ?x?0?则F?x?max?0 由F??x??a?1?2a21xx?0得：x?a ∵当x?1a时，F??x??0 ，∴F?x?为减函数； 当0?x?1a时，F??x??0，∴ F?x?为增函数.

∴F?x?max?F??1?11?a???lna ∴lna?0 ∴a?e ∴a的取值范围为?e,??? 14. （1）因为：f?(x)?x?ax (x?0)，又f(x)在x?2处的切线方程为 y?x?b

45

?2?b??2?aln2a 所以 ? 解得：a?2, b??2ln2 2??1?2?a （2）若函数f(x)在(1,??)上恒成立。则f?(x)?x??0在(1,??)上恒成立，

x2 即：a?x在(1,??)上恒成立。所以有 a?1

（3）当a?0时，f(x)在定义域(0,??)上恒大于0，此时方程无解；

当a?0时，f?(x)?x?增函数。

a?0在(0,??)上恒成立，所以f(x)在定义域(0,??)上为x211?f(1)??0，f(e2)?ea?1?0，所以方程有惟一解。

221ax2?a(x?a)(x?a)当a?0时，f?(x)?x?? ?xxx因为当x?(0,a)时，f?(x)?0，f(x)在(0,a)内为减函数； 当x?(a,??)时，f(x)在(a,??)内为增函数。 所以当事人x?a时，有极小值即为最小值f(a)?11a?alna?a(1?lna)。 22当a?(0,e)时，f(a)?当a?e时，f(a)?1a(1?lna)?0，此方程无解； 21a(1?lna)?0.此方程有惟一解x?a。 21当a?(e,??)时，f(a)?a(1?lna)?0

211因为f()??0且1?a，所以方程f(x)?0在区间(0,a)上有惟一解，

22因为当x?1时，(x?lnx)??0，所以 x?lnx?1

121x?alnx?x2?ax 22122因为 2a?a?1，所以 f(x)?(2a)?2a?0

2所以 x?lnx,f(x)?所以 方程f(x)?0在区间(a,??)上有惟一解。 所以 方程f(x)?0在区间(e,??)上有惟两解。

综上所述：当a?[0,e)时，方程无解；当a?0或a?e时，方程有惟一解；

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当a?e时方程有两解。

第35课：简单复合函数的导数

一、课前热身

（1）

（2）e2x(1?2x) ，（3）2，（4）—2，（5）x?， （6）106cos3x3(x?2x)ln22(x?1)?二、教材回归

y'''u?uu；yu?a

三、同步导学

例1 (1)解:y??(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1?x2)2?cos2x

??(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?](1?x2)2cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx](1?x2)2cos2x

?(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2)sinx(1?x2)2cos2x(2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′ =3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)

(3)解法一 设y=f(μ),μ=v,v=x2+1,则

y′x=y′·v′x=f′(μ)·1－1μμ′v2v2·2x

=f′(x2?1)·

112x

x2·2?1=

xf?(x2?1),x2?1

解法二 y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′

1=f′(x2?1)·12(x2+1)?2·(x2+1)′

1=f′(x2?1)·1(x2?22+1)

·2x

45

=

xx2?1f′(x2?1)

例2 设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－25?9t2, 当下端移开1 4 m时，t0=

1?47?, 315?11又s′=－ (25－9t2)2·(－9·2t)=9t,

2225?9t1所以s′(t0)=9×

7?15125?9?(72)15=0 875(m/s)

例3 （1）因为f(x)在区间?2,???上为减函数，

所以对任意的x1,x2??2,???,且x1?x2恒有f(x1)-f(x2)>0成立. 即f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+k(x2-x1)(x2+x1)x-2+2x2-2+2221>0恒成立. x-2

因为x2-x1>0，所以k>x12-2x1+x2又2x2-2+对x1,x2??2,???,且x1?x2时，恒成立.

x12-2x1+x2<1，所以k≥1.

（2）f?(x)?1?kx?1?k(x≥2).

2x?21?22x下面分两种情况讨论：

（1）当k≤0时，f(x)=x-kx2-2是关于x的增函数，值域为[2?2k,??) （2）当k>0时，又分三种情况： ①当k>1时，因为x>x2-2，所以1-kxx-22<0,即f?(x)?0.

所以f(x)是减函数，f(x)≤f(2)?2?2k.

22k(1-k2)x2+2k2(1-k)x+x2又f(x)=x-kx-2=， =22x+kx-21+k1-2x2当x???,f(x)???，所以f(x)值域为(??,2?2k]. ②当k=1时，f(x)=x-x2-2=2x+2x-22>0，

且f(x)是减函数，故f(x)值域是(0,2?2

?45

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