模块整合六：导数及其应用(3)

第36课：导数的综合运用

【考点阐释】

《考试说明》要求：会用导数解决某些实际问题，利用求导法解决一些实际应用问题

是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点本节的能级要求为B级。

【高考体验】 一、课前热身

（1）(2009南通调研) 水波的半径以50cms的速度向外扩张，当半径250cm时，圆面积

的膨胀率是

（2）已知函数f(x)?x3?3ax(a?R)，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，则a的取值范围为

?3（3）（2009通州调研）设函数f(x)?x?x，若0???时，f(mcos?)?f(1?m)?02恒成立，则实数的取值范围是_ .

|x|?kx3有三个不同的实数解，则实数k的取（4）(2009盐城调研)已知关于x的方程

x?3值范围是

（5）(2009南京调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y?ax3?1(a?0)与曲

线C2：x?y?数a的值是

225的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实2f(x)，若函数g(x)至x（6）（2009南通调研）设函数f(x)?x3?2ex2?mx?lnx，记g(x)?少存在一个零点，则实数m的取值范围是

二、教材回归

导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应 ，则问题转化为导数问题，解题中应该注意 。 三、同步导学

例1：(2009淮安调研) 已知函数f?x??lnx?x?1，x??0，??? .

（1）求f?x?的单调区间和极值；

，，（2）设a≥１，函数g?x??x2?3ax?2a2?5，若对于任意x0??01?，总存在x1??01?，使

得f?x1??g?x0?成立，求a的取值范围；

???，求证：（3）对任意x??0，

1x?11?ln?. x?1xx例2：(2009南京调研)设a?0，函数f(x)?x2?a|lnx?1|.

45

(1) 当a?1时,求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程; (2) 当x?[1,??)时,求函数f(x)的最小值.

例3：（2008年江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P

处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短

DOPCAB

思考题：

四、高考定位

1.以解答题的形式考查导数与三角函数，解析几何，不等式等知识相结合的问题。会构造函数来求导。

2. 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数学

语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解

【课堂互动】

1．(2009淮安调研)已知f1(x)?sinx?cosx，记

'f2(x)?f1'(x),f3(x)?f2'(x),?,fn(x)?fn?1(x)(n?N*,n?2),

则f1()?f2()????f2009()?____

444???2. 已知函数f(x)的定义域为[?2,??)，部分对应值如下表y x f(x)

－2 1

0 －1

4 1

－2 O x f??x?为f?x?的导函数，函数y?f??x?的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a+b)<1，

则

b?3的取值范围是 a?33. （2009苏北四市调研）设曲线y??ax?1?ex在点A?x0,y1?处的切线为l1，曲线y??1?x?e?x在点B?x0,y2?处的切线为l2，若存在0≤x0≤3，使得l1?l2，则实数a的取值范围245

是 ．

4.对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列

?an???的前n项和的公式是 ?n?1?5．质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀速圆周远动，角速度为2rads，设A（10，0）

为起始点，则时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度是

6．（2009湖南卷理）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需

要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。 （Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【好题精练】

1．已知函数y=a(x3-3x)的递增区间为（-1，1），则a的取值范围是 ??)内单调递增，q:m≥?5，2. （2007年江西理）设p:f(x)?ex?lnx?2x2?mx?1在(0，则

p是q的 条件

3.函数y?xsinx在x??处取得极值，则(1??2)(1?cos2?)= ??4. 已知函数f(x)?sinxcosx?m(sinx?cosx)是区间?,??上单调递减函数，则实数m

2?的取值范围是

15. （2009南京调研） 已知函数f(x)?ax?x4，x?[,1]，A,B是其图象上不同的两点.

21若直线AB的斜率k总满足?k?4，则实数a的值是

26．曲线y=x(x+1)(2－x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是

7. （2009盐城三模） 已知定义在R上的函数F(x)满足F(x?y)?F(x)?F(y)，当x?02??F(2kx?x)?F(k?4)时，F(x)?0. 若对任意的x?[0,1]，不等式组?均成立，则实数2??F(x?kx)?F(k?3)45

k的取值范围是 .

8．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3s的流量倒入杯中，当

水深为4cm时，则水升高的瞬时速度是

9. （08年天津卷）已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x2?10x的一个极值点，若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，则b的取值范围 110. 设函数f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.当x?[a?1,a?2]时，恒有

3|f?(x)|?a，则确定a的取值范围是 11. （2009通州调研）如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其

平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB??，试求平板面的长 (用表示)； ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

2m N E D 2m M F A P l C Q B

12. （2009北京理）

设函数f(x)?xe(k?0)

（1）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增，求k的取值范围.

kx

13．（2009通州调研）函数f(x)?lnx? （1）试求f(x)的单调区间；

（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1； （3）求证：不等式

a(x?1)(x?0,a?R)． x111??对于x?(1,2)恒成立． lnxx?1245

14. （2009扬州调研）已知函数f(x)?ex?2x2?3x.网高考资源网（I）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

高考资源网（Ⅱ）求证函数f(x)在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相

应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，e≈1.6，e≈1.3）

0.3

高考资源网（III）当x?15时,若关于x的不等式f(x)?x2?(a?3)x?1恒成立,试求实数a的取22高考资源网值范围。

第37课：定积分 【考点阐释】

《考试说明》要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会用微积分基本定理求定积分。高考时为附加题部分内容。本节的能级要求为A级

【高考体验】 一、课前热身

21（1） ?(2x?)dx? . 1x?（2） ?2(3x?sinx)dx? .

0（3） 若?2xdx??dx<3，则t的取值范围 .

00t2t（4）若a??x2dx,b??x3dx,c??sinxdx，

000222y?x?4

y2?2x

则a，b，c的大小关系是

1（5）由曲线y?，y?1，y?2，x?1所围成的面积

x为

（6）图中,阴影部分的面积是 . 二、教材回归

1.求曲边梯形面积的步骤

① ② ； ③ ； ④ 。

2.定积分的定义

一般地，设函数f(x)在区间?a,b?上有定义，将区间?a,b?等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?b?a，在每个小区间上取一点，依次为x1,x2,?xi,?xn n45

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