高等数学(上)复习指导及要点解答(8)

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s'(x)?(?cnx)'?n?0?ncn?1nxn?1 (?r?x?r)；

cn ｃ）和函数s(x)在(?r,r)内可积，且可逐项积分： s(x)dx0 ?0=n?03． 3． 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数

(n)x??x??cnxdxn=n?0n?1?xn?1，(?r?x?r)；

设函数f(x)在点x0的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数

?

?n?0f(x0)n!(x?x0)nf(n)(x0)(x?x0)=

(n)f(x0)?f'(x0)(x?x0)??+

n!n+…

为f(x)在点x0的泰勒级数。而称

?

?n?0f(0)n!xnf(n)(0)x+…

n=

xf(0)?f'(0)x??+

n!为f(x)的麦克劳林级数（0=0时的泰勒级数）。 （2）函数的幂级数展开（间接展开法）

利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。

学习指导

（一）、数列

计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。

n?1 假定数列由递推公式n定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。 如果数列的通项是由n 个项的和构成，通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义，也可以考虑先将和求出来，再求极限。 （二）、无穷级数的基本概念 1、级数敛散性的定义

?a?f(a) 每个级数

?un?1n涉及到两个数列：一是由其项构成的数列｛un｝，二是由其部分和构成

?的数列｛s｝。级数

n?un?1?n的敛散性是用｛sn｝的敛散性定义的。

?n 一般，即使级数

?un?1收敛，要求其和也是很困难的。但只要级数

r?un?1n收敛，我们就

可以用部分和近似表示它的和，其误差为n。故我们首先关心的是判断级数的敛散性。

２、级数的基本性质 （１）、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。

??n?u（２）、收敛级数可以逐项相加。而且，若

n?1?v收敛，

n?1n发散，则必有

??(un?1n?vn)发散。

（３）、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。 （４）、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。若加括弧后的级数发散，则原级数发散。 （５）、

limunn??u＝０是级数?n收敛的必要条件，但不是充分条件。因此由

limunn???０可推得级数?un发散。

ana 若需证明数列{

}收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数?an收敛，再利用级数

收敛的必要条件得{ n}收敛于零。

（三）、数项级数 １、正项级数 （１）、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。 （２）、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可考虑利用根值判别法；以n的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为n??时，通项关于无穷小的阶数易观察而得，应优先考虑与p级数比较，（利用比较判别法或其极限形式）。 （３）、比较判别法的比较对象，一般可取等比级数和p级数，故下列结论应牢记。

?1n等比级数n?1??aq1pn?1当

q<1时，收敛于

a1?q，当

q?1时发散。

P级数n?1n，当p>１时收敛，当p?１时发散。 ２、交错级数的莱布尼兹判别法

这里需指出，与其他的判别法一样，莱布尼兹判别法也仅是充分条件并不必要。

n?n?1 对于莱布尼兹型级数，其“截断误差”有估计式

３、绝对收敛与条件收敛 （１）、判断变号级数的敛散性，是指判断其绝对收敛、条件收敛还是发散。

un（２）、若?发散，且此结论是由正项级数的比值或根值判别法而得，则必有

?ruu，因而立即可得 ?n发散。

（四）、幂级数

1、幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）、幂级数的条件收敛点必是其收敛域的端点。 （2）、对于“缺项”的幂级数，不能直接利用公式求收敛半径，我们可以将x任意取定为一常数，再利用正项级数的比值或根值判别法来确定其收敛半径。 2、幂级数的运算

利用幂级数逐项微分或逐项积分的运算，可能会改变其收敛区间端点上的敛散性。 3．幂级数的展开

n??limun?0通常利用间接法展开。这里首先需要注意的是基点，如果是将函数勒级数，是指将

f(x)f(x)在点

x0处展开为泰

ln(1?x)表达成

?axn(x?x0)n的形式。一般，对数函数可利用的

麦克劳林级数，指数函数利用e的麦克劳林级数等等，又，反三角函数或变限积分函数常

常

先求导再展开。

若在展开过程中，利用了幂级数的乘法，逐项微分和逐项积分的运算，则收敛区间端点上的敛散性需重新判断。

求所得幂级数的收敛域是函数的幂级数展开的必要步骤之一，千万不要遗漏。 4．求幂级数的和函数与收敛数项级数的和

若在幂级数的项中没出现阶乘记号，通常利用幂级数的运算，将其化为等比级数，利用等比级数收敛性的结论求幂级数在收敛域上的和函数。若在幂级数的项中出现阶乘记号，则利用 e、sinx、cosx的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的运算，求其在收敛域上的和函数。

求收敛数项级数的和，可以利用级数敛散性的定义，即计算n??。也可构造幂级数，使收敛的数项级数成为幂级数在其收敛域内某点处的值，通过计算幂级数在收敛域上的和函数达到目的。

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