（I）若
limf(x)?Ax?a?，且A?0（或A?0），则必存在a的某个去心邻域N(a,?)，当
?(a,?)x?N时，有f(x)?0（或f(x)?0）。
limf(x)?A?(a,?)Nf(x)?0f(x)?0a（II）若在点的某个去心邻域内有（或），且x?a，
则A?0（或A?0）。
5．极限的四则运算与复合运算 设c是常数，（1）（2）（3）（4）
x?alimf(x)?A，limg(x)?B，x?ax?a则
lim[f(x)?g(x)]?A?B；
lim[f(x)?g(x)]?A?B；x?a
lim[c?f(x)]?c?A；x?a
limf(x)g(x)x?a?AB，B?0；
?0x?au?u（5）
limf[g(x)]?limf(u)?Au?u则x?a.
6．两个重要极限
0若limg(x)?u0，limf(u)?A，且?x?U(a,?)(??0)，有g(x)?u0，
limsinxx（1）
x?0?1；
1xx（2）x?0 或 。
7．无穷小的阶的比较
若?和?都是在同一自变量变化中的无穷小量，且??0，则
?lim?0?（1）若，则称?关于?是高阶无穷小量，记作??o(?)； ?lim?1?（2）若，则称?和?是等价无穷小量，记作?~?； ?lim?c(c?0)??O(?)??（3）若，则称?和是同阶无穷小量，记作；
?A?||?B??一般情况下，若存在常数A?0，B?0，使成立 ，就称?和是同阶无穷小量。
k??O(x)x?0x（4）若以作为时的基本无穷小量，则当（k为某一正数）时，称
?是k阶无穷小量。
x??lim(1?x)?elim(1?1)x?e 定理1
?~??????o(?)。
?定理2 设?~??，?~?，且 常用的等价无穷小
lim????存在，则
lim???lim????。
xx?0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1，
121?cosx~x2 。
（二）函数的连续性
1．定义 若函数
x?ay?f(x)在点a的某个邻域内有定义，则
?x?0f(x)在点a处连续 ?
limf(x)?f(a)?lim?y?0。
2．连续函数的运算
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。 3．间断点
（1）间断点的概念
不连续的点即为间断点。
（2）间断点的条件 若点
x0满足下述三个条件之一，则
x0为间断点：
x （a）f(x)在0没有定义；
limf(x)x?x （b）不存在；
limf(x)limf(x)?f(x0)x0f(x)x?xx?x （c）在有定义，也存在，但。 （3）间断点的分类：
000（i）第一类间断点：在间断点
可去间断点：在间断点跳跃间断点：在间断点
x0处左右极限存在。它又可分为下述两类： 处左右极限存在且相等； 处左右极限存在但不相等； 处的左右极限至少有一个不存在。
x0x0（ii）第二类间断点：在间断点4．闭区间上连续函数的性质 （1）概念 若函数
f(x)x0在区间
(a,b)上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称
f(x)在区间上连续。 （2）几个定理 最值定理：如果函数
f(x)[a,b]在闭区间
[a,b]上连续，则
f(x)在此区间上必有最大和最小值。
在此区间上必有界。
有界性定理：如果函数
?f(x)在闭区间
[a,b]上连续，则
f(x)介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则对介于f(a)和f(b)之间的任一值c，
?必有
x?[a,b]，使得
f(x)?c。
?x?(a,b)零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，若f(a)?f(b)?0，则必有，
?使得f(x)?0。 （三）导数 1．导数的概念
（1）定义 设函数y?f(x)在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点a处取得改变量
?x(?0)时，函数f(x)取得相应的改变量 ?y?f(a??x)?f(a)，若极限
?yf(a??x)?f(a)lim?lim?x?0?x?x?0?x
存在，则称此极限值为函数y?f(x)在点a处的导数（或微商），记作
f?(a)，y?，x?adydxx?a或df(x)dxx?a。
导数定义的等价形式有
f?(a)?limf(x)?f(a)x?ax?a。
（2）左、右导数 左导数 右导数
f?(a)f??(a)?lim?x?af(x)?f(a)x?af(x)?f(a)x?a
f??(a)?lim?x?af?(a)?f??(a)存在 ??。
2．导数的几何意义
?函数y?f(x)在点a处的导数f(a)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(a,f(a))处?的切线的斜率，即k?f(a)，从而曲线y?f(x)在点M(a,f(a))处的 ?切线方程为 y?f(a)?f(a)(x?a)
1y?f(a)??(x?a)?(a)f法线方程为
3．函数的可导性与连续性之间的关系
函数在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
f(x)f(x) 因此，若函数点a处不连续，则点a处必不可导。 4．求导法则与求导公式
（1）四则运算 若u、v、w均为可导函数，则
(u?v)??u??v?y?f(x)，
，
(uv)??u?v?uv?(cu)??cu?，
(uvw)??u?vw?uv?w?uvw?（其中c?0为常数），
uu?v?uv?1?v??()??()?22vvvv， （v?0）。
（2）复合函数求导
设y?f(u)，u?g(x)，且f(u)和g(x)都可导，则复合函数y?f[g(x)]的导数为
dydx?dydu?dudx。
（3）反函数的导数
若x??(y)是y?f(x)的反函数，则 （4）隐函数的导数
dyf?(x)?1??(y)。
由一个方程F(x,y)?0所确定的隐函数y?f(x)的求导法，就是先将方程两边分别对x求导，再求出dx即可。 （5）对数求导法
先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。 对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。 （6）参数方程的导数
?x??(t)?y??(t)若参数方程 ? 确定了一个函数 y?f(x)，且?、?均可导，则有
dy??(t)?dx??(t)。
（7）基本初等函数的导数公式
???1??0(x)???x(c)
?? (sinx)?cosx (cosx)??sinx
?? (secx)?secxtanx (cscx)??cscxcotx
(arctanx)??(tanx)??secxx2x(cotx)???cscxxx2(a)??alna(loga?（a?0，a?1） (e)?e 11x)??(lnx)??xlna（a?0，a?1） x
11?x11?x2(arcsinx)??2(arccosx)???11?x?11?x22
(arccotx)??
5．高阶导数
（1）高阶导数的概念： 函数
f(x)
的二阶导数的导数称
f(x)f(x)f(x)为的三阶导数，? ?，的n?1阶导数的导数称为的n阶导数，分别记为 dydydydy,,,??,(4)(n)234ny?,y??,y???,y,??,ydxdxdxdx，或。二阶及二阶以上的导数称为
高阶导数。
（2）常用的n阶导数公式
234n的一阶导数
f'(x)的导数称为
f(x)的二阶导数，
f(x)
(x)n(n)?n!(sinx)(n)?sin(x?(n)，
n?2n?1(e)x(n)?ex，
n?2))(cosx)(n)?cos(x?，
(n?1)!n，
[ln(1?x)]?(?1)(1?x)。
（3）莱布尼茨公式
设u(x)和v(x)都是n次可微函数，则有
(uv)(n)??n?(n?k)(k)v???k??uk?0??。
n 复习指导
重点：求函数的极限、连续、导数。
难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。 1．求极限的方法：
（1）利用定义（???语言）证明。
（2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。
limf(x)?f(x0)f(x)x?x（3）初等函数在定义区间上求极限：。
0limx?2x?3x?12例：。 （4）分解因式，约去使分母极限为零的公因式。
limx?4x?3x?122x?1x?0?0?2?0?30?12?3?lim(x?1)(x?3)(x?1)(x?1)例：
（5）利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。
limsin2xxx?1?limx?3x?1x?1??1。
例：
x?0?limsin2x2xx?0?2?2。
)?4limx?sin2xxsin(2???4?4??4但 。
（6）利用等价无穷小替换（条件：在乘积的条件下）。
tan3x3xlim?lim?3x?0ln(1?x)x?0x例：。
（7）利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。
例：求x?2x?2。
x?2x?2lim?0lim??x?2x?2x?2x?2 因为，所以。
limu(x)?1limv(x)??x?xx?x（8）幂指函数求极限：若，，则
00limx?2。
（9）利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。
2．无穷小：
（1）理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化趋势密切相关。
（2）掌握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。
（3）注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。
x?x0limu(x)v(x)limv(x)[u(x)?1]?ex?x0
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