高等数学(上)复习指导及要点解答

第1章 函数

内容提要

[主要内容]

变量、集合、区间及邻域的概念，集合的运算，映射与函数的概念，函数的表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、基本初等函数、分段函数的性质及其图形，初等函数的概念。

1．变量、集合、区间

在整个考察过程中始终保持不变的量，称为常量；在考察过程中能取不同数值的量称为变量。

一组对象的汇集或总体，称为集合或集，常用大写英文字母A、B、C等表示；集合中的每一个对象称为集合的元素，常用小写字母a、b、c等表示。若a是集合A中的元

素，称a属于A，记为a?A，否则称a不属于A，记为a?A。 集合的表示法常用的有列举法和表示法。列举法是将所有元素一一列于一个大括号内，

{x|P}描述法一般写成，其中x是元素的一般形式，P表示集合中的每个x都具有的性质。 空集记为?。常用集合有实数集R，有理数集Q，非整数集N，自然数集

R数集?。实数和数轴上的点一一对应，实数集R亦称为数直线R。

(a,b)?{x|a?x?b}[a,b)?{x|a?x?b}(??,b]N?，正实

区间是一种特殊的集合。闭区间[a,b]?{x|a?x?b}，开区间

，左开右闭区间(a,b]?{x|a?x?b}，左闭右开区间，无穷区间(??,??)?{x|???x???}?R，半无穷区间

x0，(??,b)，[a,??)，(a,??)。

表示包含点

x0N(x0)的任一开区间，称为点

x的邻域；

?(x)?N(x)?{x}N000表示点0的去心邻域； N(x0,?)?{x||x?x0|??}?(x0??,x0??)，称为点

x0的?邻域；

，称为点

x0?(x,?)?{x|0?|x?x|??}?(x??,x)?(x,x??)N000000的去心

?邻域。

2．集合运算

子集：对于两个给定的集合A和B，若A的任何一个元素x，都有x?B，则称集合A是集合B的子集，记作A?B或B?A。

相等：对于两个集合A和B，如果A?B与B?A同时成立，就称两个集合A与B相等，记作A?B。

交集：对于两个给定的集合A和B，由同时属于这两个集合的元素组成的集合，叫作

A?B?{x|x?Ax?B}集合A和B的交集，记作A?B或AB，即，且。

性质：A?B?B?A，A?A?A，A???? 并集：对于两个给定的集合A和B，由这两个集合的所有元素组成的集合，叫作集合AA?B?{x|x?Ax?B}和B的并集，记作A?B或A?B，即或。

性质：A?B?B?A，A?A?A，A???A

差集：对于两个给定的集合A和B，由属于A但不属于B的元素组成的集合，称为AA?B?{x|x?Ax?B}与B的差集，记作A?B，即，且。

3．映射、函数

映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种规则f，使对于集合A中的任一元素a，可在B中确定唯一的元素b与它对应，就称f是从A到B映射或映照，记为f：A?B。元素b称为元素a在映射f下的像，记为b?f(a)。对于元素b?B，称{x|f(x)?b,x?A}为元素b?B在映射f下的原像。

函数：设E是一个实数的集合，若根据某个确定的规则f，使对于E中的每一个x，都有唯一确定的实数y与之对应，就说在E上给定了一个单值函数，记作y?f(x)，

(x?E)。规则f是函数的记号；称x为自变量，集合E为函数f(x)的定义域；称y为因

变量，集合E1?{y|y?f(x),x?E}为函数f(x)的值域，也可记为E1?f(E)。

函数的两要素：定义域和对应规则。只有当两个函数的定义域和对应规则都完全相同时，这两个函数才是相同的函数。

4．函数的表示、分段函数、绝对值与三角不等式

函数的表示法：图形表示法、列表表示法和解析表示法。

分段函数：在自变量的不同范围内用不同运算式表示的函数称为分段函数。 绝对值：实数x的绝对值|x|是一个非负实数，其定义为

?x,|x|????x,x?0x?0基本不等式： （１）

?x?x?x

（２）|x|?a??a?x?a (a?0) （３）|x?y|?|x|?|y|（三角不等式） |x?y|?|x|?|y|（４） 5．函数的性质 （1）有界性

设函数函数值

f(x)f(x)在集合X上有定义，若存在正数M，使对集合X内任意一值x，对应的

|f(x)|?M都有，则称函数

x0f(x)在X上有界；若这样的M不存在，即对任

成立，则称函数

f(x)一正数M，集合X内总存在点

（2）单调性

，使

|f(x0)|?M在X上无界。

x?x2f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)如果对于区间X内任意两点1，总成立着（或，

则称函数f(x)在区间X内（严格）单调增加（或单调减少）。

x?x2f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)如果对于区间X内任意两点1，总成立着（或，则称函数f(x)在区间X内非严格单调增加（或非严格单调减少）。 （3）奇偶性

f(x)(?l,l)(?l,l)f(?x)?f(x)设函数在区间内有定义，若对内任意一x，都有成

f(x)(?l,l)(?l,l)f(?x)??f(x)立，则称函数是内的偶函数；若对内任意一x，都有成立，则称函数是

（4）周期性

f(x)f(x)(?l,l)内的奇函数。

f(x?T)?f(x)若存在非零实数T，使对定义域X内的一切x，等式总成立，则称

为X上的周期函数，并称T为是所有的周期函数都有最小正周期。

f(x)的周期。通常所说的周期为其最小正周期，当不

6．初等函数

（1）反函数：对于以X为定义域，Y为值域的函数y?f(x)，若对集合Y中的任意一个y，在集合X中可唯一确定一个满足y?f(x)的数x与之对应，则这一对应关系确定了一个以y为自变量，x为因变量的函数x??(y)。这个函数x??(y)就称为y?f(x)的反函数。

（2）复合函数：设y是u的函数y?f(u)，其定义域为U；而u是x的函数u?g(x)，

u?g(x)其定义域为X，值域为U*，且U*?U，则对于X中的每一个x值，经过中间值，

yy唯一地对应一个确定的值。于是因变量经过中间变量u而成为自变量x的函数，记为

（x?X），称为函数和的复合函数。

（3）基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（4）初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次四则运算及有限次复合所得到的函数称为初等函数。

y?f[g(x)]y?f(u)u?g(x)复习指导

一元函数的概念，函数的单调性、奇偶性、周期性以及初等函数的性质及其图形在中学数学中早已熟悉了，这里不再赘述。下列仅对值得提醒的内容作一复述。 1．函数的有界性

设

f(x)的定义域为D，数集X?D，

f(x)?kf(x)?kf(x)（1）如果存在数k，对于所有x?X，恒有（），则称函数在f(x)X上有上界（下界）。数k称为函数在X上的一个上界（下界）。

|f(x)|?MM?0x?Xf(x)（2）如果存在一个数，对于任何，使得成立，则称函数

f(x)f(x)在X上有界，数M为函数在X上的一个界。否则称函数在X上无界。

f(x)（3）界不唯一。如果M?0为函数在X上的一个界，则任何比M大的正数也

是它在X上的界，所以一个有界函数必有无穷多个界。

（4）函数

2．反函数

设函数y?f(x)的定义域是D，值域是Z。如果对于每一个y?Z，存在惟一的x?D满足函数f(x)?y，把函数y看作自变量，把x看作因变量，则x是一个定义在

y?Zf(x)在X上有界的充分必要条件为

f(x)在X上既有上界又有下界。

上的函数，记此函数为

x?f?1(y) （y?Z）

并称之为y?f(x)（x?D）的反函数。

y习惯上常以x表示自变量，表示因变量，故常将函数y?f(x)（x?D）的反函数表示成

y?f?1(x) （x?Z）

y?f(x)它与

x?f?1(y)（

y?Z）表示同一个函数，因为二者具有相同的定义域和相同的对应规

（x?D）的图形与其反函数

y?f1(x)?x2则。因而，在同一个直角坐标系中，函数函数

y?f?1(x)y?x（x?Z）的图形关于直线对称。

2 函数

y?f(x)?x在

(??,??)上不具有反函数。如果考虑函数

（

。这时常使用术语：称函

数f1(x)（或f2(x)）为“函数f在D1（或D2）上的限制”或“函数f限制在D1（或D2）上”，且记作

fD1x?D1?[0,??)）或函数

ffy?f2(x)?x(x?D2?(??,0])2（或

D2），其本质上一个新的函数。于是，就本例就具有反函数

y?f?1D2y?f(x)?x2在

D2?(??,0]上的限制

D2(x)??x，x?[0,??)。同样，

反正切函数y?arctanx是正切函数y?tanx在tan(arctanx)?x，x?(??,??)。

3．复合函数

设函数

Zg(??2,?2)上的限制的反函数，所以

y?f(u)的定义域是

Df，值域是

Zf；函数

u?g(x)的定义域是

Dd，值域是

。如果

Df?Zg??，则称函数

y?f[g(x)]，

x?D?{x|g(x)?Df}

是由函数和函数复合而成的复合函数，变量u称为中间变量。

4．初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这六类函数是研究其它各种函数的基础，统称为基本初等函数。基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数称为初等函数。 初等函数有很多好的性质，它们是微积分的重要研究对象。

5．分段函数 在自变量的不同变化范围中，自变量与因变量的对应规则用不同的表达式来表示的函数称为分段函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但并不是说分段函数就一定不是初等函数。如函数与是同一个函数但前者是分段函数，后者是初等函数。 分段函数在微积分中有非常特殊的地位，尤其是在基本概念的说明方面，需重视。

f(x)?|x|y?f(u)u?g(x)f(x)?x2第2章 第2章 导数与极限

内容提要

（一）极限 1. 概念

（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（???定义） x?a（2）单侧极限 左极限：

limf(x)?A????0，???0，当0?|x?a|??时，有|f(x)?A|??。

lim?f(x)?Af(a?0)?x?a????0，???0，当0?a?x??时，有

|f(x)?A|??。

x?a 右极限：

f(a?0)?lim?f(x)?A????0，???0，当0?x?a??时，有

。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限

x?Xf?x??A??f?x?x定义1：???0,?X?0，当，成立，则称常数A为函数在

|f(x)?A|??趋于无穷时的极限，记为x??。

y?A为曲线y?f?x?的水平渐近线。

limf?x??Af?x??A?????0，?X?0x?Xx???定义2：，当时，成立，则有。

limf?x??Af?x??A?????0，?X?0x??Xx???定义3：，当时，成立，则有。

limf?x??A运算法则：

1) 1) 若limf?x??A，limg?x???，则lim?f?x??g?x????。

2) 2) 若limf?x??A??0,但可为??，limg?x???，则limf?x??g?x???。

1lim?0f?x?3) 3) 若limf?x???，则。 注：上述记号lim是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义

0?|x?a|??|f(x)|??f(x) ???0，???0，当时，有，则称函数在x?a时的无穷小（量），即 x?a。 （5）无穷大的定义

?M?0，???0，当0?|x?a|??时，有|f(x)|?M，则称函数f(x)在x?a时的无穷大（量），记为

limf(x)??x?alimf(x)?0。

y?f?x?直线x?a为曲线的垂直渐近线。

2．无穷小的性质

定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷小与无穷大的关系

1若x?a，且f(x)不取零值，则f(x)是x?a时的无穷小。 3．极限存在的判别法

?f(a?0)?f(a?0)?A。

limf(x)?Alimf(x)?limf(x)?A?x??x???x??? 。

limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是x?a时的无穷小。 （2）x?a?(a,?)N（3）夹逼准则：设在点a的某个去心邻域内有 g(x)?f(x)?h(x)，且已知

limh(x)?Alimf(x)?Alimg(x)?Alimf(x)??（1）

limf(x)?Ax?a和

4．极限的性质

x?ax?a，则必有

x?a。

（1）极限的唯一性 若

limf(x)?Ax?a且

limf(x)?Bx?a，则A?B。

?(a,?)N（2）局部有界性 若x?a。

（3）局部保号性

|f(x)|?Mlimf(x)?A，则

?M?0，在点a的某个去心邻域

内有

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